Quantos pontos comuns têm a circunferência
e a parábola
?
Passo 1
O enunciado pede: determinar quantos pontos comuns (ou seja, quantos pontos de interseção) têm a circunferência
e a parábola
Informações dadas:
- Equação da circunferência:
. - Equação da parábola:
.
Pergunta a responder: quantos pontos distintos (x,y) satisfazem simultaneamente as duas equações?
Passo 2
Estratégia escolhida: resolver o sistema por substituição. Porque a equação da parábola já é facilmente isolável em
, então substituímos essa expressão de
na equação da circunferência e obtemos uma equação só em
. Isso reduz o sistema a uma equação polinomial em
, que depois resolveremos e retornaremos para obter os
.
Passo 3
Isolar
na equação da parábola. A equação é
Isolando
obtemos
Explicação rápida: basta passar
para o outro lado e trocar sinais; é uma operação elementar de álgebra.
Passo 4
Substituir
na equação da circunferência. A circunferência dá
Substituindo:
Agora desenvolvemos passo a passo:
Somando tudo:
Agrupando termos semelhantes:
Calcule cada grupo:
Logo a equação simplifica para
Passo 5
Resolver a equação em
:
Fatorando
:
Portanto as soluções vêm de
Da primeira,
dá
Da segunda,
implica
Assim há três valores distintos de
:
,
e
.
Passo 6
Obter os correspondentes valores de
para cada
usando
.
- Para
:
Ponto:
.
- Para
: como ,
Ambos os sinais de
dão o mesmo
, gerando dois pontos simétricos:
e
.
Portanto os pontos comuns distintos são:
Passo 7
Verificação rápida (checando que satisfazem a circunferência). Para
:
Para
e
:
Escrevendo em nonos:
Ambos satisfazem, então os três pontos são válidos.
Observação: a solução
aparece como raiz dupla da equação em
(multiplicidade 2), mas corresponde a apenas um ponto distinto; portanto o número de pontos distintos de interseção é três.