Quantos pontos comuns têm a circunferência x^{2}+y^{2}-4 y+3=0 e a parábola 3 x^{2}-y+1=0 ?

Passo 1

O enunciado pede: determinar quantos pontos comuns (ou seja, quantos pontos de interseção) têm a circunferência
x^{2}+y^{2}-4y+3=0
e a parábola
3x^{2}-y+1=0.
Informações dadas:
  • Equação da circunferência: x^{2}+y^{2}-4y+3=0.
  • Equação da parábola: 3x^{2}-y+1=0.
    Pergunta a responder: quantos pontos distintos (x,y) satisfazem simultaneamente as duas equações?

Passo 2

Estratégia escolhida: resolver o sistema por substituição. Porque a equação da parábola já é facilmente isolável em y, então substituímos essa expressão de y na equação da circunferência e obtemos uma equação só em x. Isso reduz o sistema a uma equação polinomial em x, que depois resolveremos e retornaremos para obter os y.

Passo 3

Isolar y na equação da parábola. A equação é
3x^{2}-y+1=0.
Isolando y obtemos
y=3x^{2}+1.
Explicação rápida: basta passar -y para o outro lado e trocar sinais; é uma operação elementar de álgebra.

Passo 4

Substituir y=3x^{2}+1 na equação da circunferência. A circunferência dá
x^{2}+y^{2}-4y+3=0.
Substituindo:
x^{2}+(3x^{2}+1)^{2}-4(3x^{2}+1)+3=0.
Agora desenvolvemos passo a passo:
(3x^{2}+1)^{2}=9x^{4}+6x^{2}+1,
-4(3x^{2}+1)=-12x^{2}-4.
Somando tudo:
x^{2}+(9x^{4}+6x^{2}+1)+(-12x^{2}-4)+3=0.
Agrupando termos semelhantes:
9x^{4}+(x^{2}+6x^{2}-12x^{2})+(1-4+3)=0.
Calcule cada grupo:
x^{2}+6x^{2}-12x^{2}=-5x^{2},
1-4+3=0.
Logo a equação simplifica para
9x^{4}-5x^{2}=0.

Passo 5

Resolver a equação em x:
9x^{4}-5x^{2}=0.
Fatorando x^{2}:
x^{2}(9x^{2}-5)=0.
Portanto as soluções vêm de
x^{2}=0\quad\text{ou}\quad 9x^{2}-5=0.
Da primeira, x^{2}=0
x=0.
Da segunda, 9x^{2}-5=0 implica
x^{2}=\frac{5}{9}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac{\sqrt{5}}{3}.
Assim há três valores distintos de x: 0, \dfrac{\sqrt{5}}{3} e -\dfrac{\sqrt{5}}{3}.

Passo 6

Obter os correspondentes valores de y para cada x usando y=3x^{2}+1.
  • Para x=0:
y=3\cdot 0^{2}+1=1.
Ponto: (0,1).
  • Para x=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}: como x^{2}=\dfrac{5}{9},
y=3\cdot\frac{5}{9}+1=\frac{5}{3}+1=\frac{8}{3}.
Ambos os sinais de x dão o mesmo y=\dfrac{8}{3}, gerando dois pontos simétricos:
\left(\dfrac{\sqrt{5}}{3},\dfrac{8}{3}\right) e \left(-\dfrac{\sqrt{5}}{3},\dfrac{8}{3}\right).
Portanto os pontos comuns distintos são:
(0,1),\qquad \left(\frac{\sqrt{5}}{3},\frac{8}{3}\right),\qquad \left(-\frac{\sqrt{5}}{3},\frac{8}{3}\right).

Passo 7

Verificação rápida (checando que satisfazem a circunferência). Para (0,1):
x^{2}+y^{2}-4y+3=0^{2}+1^{2}-4\cdot1+3=1-4+3=0.
Para x^{2}=\dfrac{5}{9} e y=\dfrac{8}{3}:
x^{2}+y^{2}-4y+3=\frac{5}{9}+\frac{64}{9}-\frac{32}{3}+3.
Escrevendo em nonos:
\frac{5+64-96+27}{9}=\frac{0}{9}=0.
Ambos satisfazem, então os três pontos são válidos.
Observação: a solução x=0 aparece como raiz dupla da equação em x (multiplicidade 2), mas corresponde a apenas um ponto distinto; portanto o número de pontos distintos de interseção é três.

Resposta

3

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