Determine o conjunto dos pontos em que a hipérbole x^{2}-4 y^{2}=4 intercepta a circunferência x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas no plano e pede os pontos em que elas se interceptam. As informações fornecidas são:
  • Hipérbole: x^{2}-4y^{2}=4.
  • Circunferência: x^{2}+y^{2}=9.
A pergunta é: determinar o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem simultaneamente as duas equações acima (ou seja, a interseção das duas curvas).

Passo 2

Estratégia escolhida: eliminar uma variável quadrática somando/subtraindo as equações. Justificativa simples e prática: ambas as equações contêm o termo \,x^{2}\, com o mesmo coeficiente, então subtraindo as equações conseguimos eliminar \,x^{2}\, e obter uma equação só em y. Essa é a maneira mais direta e leva a contas fáceis de fazer sem calculadora. (Outra opção seria isolar x^{2} numa equação e substituir na outra — que é equivalente — mas a subtração é mais direta aqui.)

Passo 3

Subtraindo a equação da hipérbole da equação da circunferência obtemos:
(x^{2}+y^{2})-(x^{2}-4y^{2})=9-4.
No lado esquerdo os x^{2} cancelam. Desenvolvendo:
x^{2}+y^{2}-x^{2}+4y^{2}=5y^{2}
e no lado direito
9-4=5.
Logo temos a equação simples
5y^{2}=5.

Passo 4

Resolver a equação obtida:
5y^{2}=5 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=1.
Tomando raiz quadrada (lembrando do sinal \pm):
y=1 \quad\text{ou}\quad y=-1.

Passo 5

Agora substituímos cada valor de y numa das equações (usar a circunferência é confortável) para encontrar x.
Para y=1:
x^{2}+1=9 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=8 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{8}=\pm 2\sqrt{2}.
Para y=-1:
x^{2}+(-1)^{2}=x^{2}+1=9
é a mesma conta, então
x=\pm 2\sqrt{2}.
Portanto os candidatos são os quatro pontos com todas as combinações de sinais:
(\pm 2\sqrt{2},\,1)\quad\text{e}\quad(\pm 2\sqrt{2},\,-1).

Passo 6

Verificação rápida que esses pontos satisfazem também a hipérbole: para qualquer um desses pontos x^{2}=8 e y^{2}=1, então
x^{2}-4y^{2}=8-4\cdot 1=8-4=4,
ou seja, a equação da hipérbole também fica satisfeita. Logo todos os quatro pontos são interseções reais das duas curvas.

Resposta

(2\sqrt{2},\,1)
(-2\sqrt{2},\,1)
(2\sqrt{2},\,-1)
(-2\sqrt{2},\,-1)

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