Determine o conjunto dos pontos em que a hipérbole
intercepta a circunferência
.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas no plano e pede os pontos em que elas se interceptam. As informações fornecidas são:
- Hipérbole:
- Circunferência:
A pergunta é: determinar o conjunto de pontos
que satisfazem simultaneamente as duas equações acima (ou seja, a interseção das duas curvas).
Passo 2
Estratégia escolhida: eliminar uma variável quadrática somando/subtraindo as equações. Justificativa simples e prática: ambas as equações contêm o termo
com o mesmo coeficiente, então subtraindo as equações conseguimos eliminar
e obter uma equação só em
. Essa é a maneira mais direta e leva a contas fáceis de fazer sem calculadora. (Outra opção seria isolar
numa equação e substituir na outra — que é equivalente — mas a subtração é mais direta aqui.)
Passo 3
Subtraindo a equação da hipérbole da equação da circunferência obtemos:
No lado esquerdo os
cancelam. Desenvolvendo:
e no lado direito
Logo temos a equação simples
Passo 4
Resolver a equação obtida:
Tomando raiz quadrada (lembrando do sinal
):
Passo 5
Agora substituímos cada valor de
numa das equações (usar a circunferência é confortável) para encontrar
.
Para
:
Para
:
é a mesma conta, então
Portanto os candidatos são os quatro pontos com todas as combinações de sinais:
Passo 6
Verificação rápida que esses pontos satisfazem também a hipérbole: para qualquer um desses pontos
e
, então
ou seja, a equação da hipérbole também fica satisfeita. Logo todos os quatro pontos são interseções reais das duas curvas.