Uma cônica tem equação
. Caracterize a cônica, determine seus focos e sua excentricidade.
Passo 1
O enunciado dá a equação da cônica
O que é pedido:
- Caracterizar a cônica (que tipo é, centro, eixos principais e seus comprimentos/semi-eixos).
- Determinar os focos.
- Determinar a excentricidade.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Coeficientes das partes quadráticas:
para e para . - Termos lineares:
e . - Termo constante:
.
Passo 2
Vamos reescrever a equação agrupando termos em
e em
e completar quadrados. Agrupando:
Fatorando os coeficientes dos quadrados:
Agora completa-se o quadrado em cada grupo. Lembrete rápido sobre completar quadrado: para transformar
em
adiciona-se
; aqui
corresponde a
, logo
e adiciona-se
.
Aplicando isso:
Aplicando isso:
Substituindo na equação:
Distribuindo os coeficientes:
Somando as constantes
, obtemos
Isolando o lado direito:
Passo 3
Dividindo por
para obter a forma padrão:
Explicação do que essa forma significa (mini-aula): uma equação da forma
com
representa uma elipse centrada em
cujo eixo maior é vertical (paralelo ao eixo
); os semi-eixos têm comprimentos
(semi-eixo maior) e
(semi-eixo menor). Se os denominadores trocarem de ordem (isto é,
sob
), o eixo maior seria horizontal. Aqui os denominadores são
sob
e
sob
.
Comparando com a forma obtida:
- Centro:
. - Denominadores:
(associada a ), (associada a ). - Portanto
e .
Como
, a elipse é vertical: o eixo maior é paralelo ao eixo
, centrado em
.
Passo 4
Agora calcular os focos. Para uma elipse com semi-eixos
(maior) e
(menor), a relação entre
,
e a distância focal
(distância do centro até cada foco) é
Isto vem da definição geométrica da elipse e pode ser deduzido usando coordenadas e propriedade da soma das distâncias constantes. Substituindo:
Como o eixo maior é vertical, os focos ficam no mesmo
do centro e deslocados em
por
. Assim os focos são:
Passo 5
Calcular a excentricidade
. Para elipses, a excentricidade é definida por
onde
. Substituindo
e
,
Interpretação rápida:
mede o quão “esticada” é a elipse; quanto mais próximo de
, mais alongada; aqui
indica uma elipse moderadamente alongada.
Resposta
Elipse centrada em
com forma canônica
(eixo maior vertical), semi-eixos
e
.
Focos: e
.
Excentricidade: .
Focos:
Excentricidade: