Uma cônica tem equação 9 x^{2}+5 y^{2}+54 x-30 y+81=0. Caracterize a cônica, determine seus focos e sua excentricidade.

Passo 1

O enunciado dá a equação da cônica
9x^{2}+5y^{2}+54x-30y+81=0
O que é pedido:
  • Caracterizar a cônica (que tipo é, centro, eixos principais e seus comprimentos/semi-eixos).
  • Determinar os focos.
  • Determinar a excentricidade.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficientes das partes quadráticas: 9 para x^{2} e 5 para y^{2}.
  • Termos lineares: 54x e -30y.
  • Termo constante: 81.

Passo 2

Vamos reescrever a equação agrupando termos em x e em y e completar quadrados. Agrupando:
9x^{2}+54x \;+\; 5y^{2}-30y \;+\;81=0.
Fatorando os coeficientes dos quadrados:
9\bigl(x^{2}+6x\bigr) \;+\; 5\bigl(y^{2}-6y\bigr) \;+\;81=0.
Agora completa-se o quadrado em cada grupo. Lembrete rápido sobre completar quadrado: para transformar x^{2}+2px em (x+p)^{2} adiciona-se p^{2}; aqui x^{2}+6x corresponde a 2p=6, logo p=3 e adiciona-se 3^{2}=9.
Aplicando isso:
x^{2}+6x = (x+3)^{2}-9, \qquad y^{2}-6y = (y-3)^{2}-9.
Substituindo na equação:
9\bigl((x+3)^{2}-9\bigr) + 5\bigl((y-3)^{2}-9\bigr) + 81 = 0.
Distribuindo os coeficientes:
9(x+3)^{2} -81 + 5(y-3)^{2} -45 +81 = 0.
Somando as constantes -81-45+81 = -45, obtemos
9(x+3)^{2} + 5(y-3)^{2} -45 = 0.
Isolando o lado direito:
9(x+3)^{2} + 5(y-3)^{2} = 45.

Passo 3

Dividindo por 45 para obter a forma padrão:
\frac{(x+3)^{2}}{5} + \frac{(y-3)^{2}}{9} = 1.
Explicação do que essa forma significa (mini-aula): uma equação da forma
\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}} + \frac{(y-k)^{2}}{a^{2}} = 1
com a^{2}>b^{2} representa uma elipse centrada em (h,k) cujo eixo maior é vertical (paralelo ao eixo y); os semi-eixos têm comprimentos a (semi-eixo maior) e b (semi-eixo menor). Se os denominadores trocarem de ordem (isto é, a^{2} sob (x-h)^{2}), o eixo maior seria horizontal. Aqui os denominadores são 5 sob (x+3)^{2} e 9 sob (y-3)^{2}.
Comparando com a forma obtida:
  • Centro: (h,k)=(-3,3).
  • Denominadores: b^{2}=5 (associada a x), a^{2}=9 (associada a y).
  • Portanto a=\sqrt{9}=3 e b=\sqrt{5}.
Como a^{2}=9>5=b^{2}, a elipse é vertical: o eixo maior é paralelo ao eixo y, centrado em (-3,3).

Passo 4

Agora calcular os focos. Para uma elipse com semi-eixos a (maior) e b (menor), a relação entre a, b e a distância focal c (distância do centro até cada foco) é
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Isto vem da definição geométrica da elipse e pode ser deduzido usando coordenadas e propriedade da soma das distâncias constantes. Substituindo:
c^{2}=9-5=4 \quad\Rightarrow\quad c=2.
Como o eixo maior é vertical, os focos ficam no mesmo x do centro e deslocados em y por \pm c. Assim os focos são:
(-3,\,3+2)=(-3,5) \qquad\text{e}\qquad (-3,\,3-2)=(-3,1).

Passo 5

Calcular a excentricidade e. Para elipses, a excentricidade é definida por
e=\frac{c}{a},
onde 0<e<1. Substituindo c=2 e a=3,
e=\frac{2}{3}.
Interpretação rápida: e mede o quão “esticada” é a elipse; quanto mais próximo de 1, mais alongada; aqui e=\tfrac{2}{3} indica uma elipse moderadamente alongada.

Resposta

Elipse centrada em (-3,3) com forma canônica \dfrac{(x+3)^{2}}{5}+\dfrac{(y-3)^{2}}{9}=1 (eixo maior vertical), semi-eixos a=3 e b=\sqrt{5}.
Focos: (-3,5) e (-3,1).
Excentricidade: e=\dfrac{2}{3}.

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