Calcule o comprimento da corda que a reta r: \mathrm{y}=\mathrm{x} define na elipse \lambda: 9 x^{2}+25 y^{2}=225

Passo 1

O enunciado dá duas curvas e pede o comprimento do segmento de reta (a corda) que a reta define dentro da elipse. Informações dadas:
  • Reta: y=x.
  • Elipse: 9x^{2}+25y^{2}=225.
    O que se pede: calcular o comprimento do segmento de reta obtido pelas interseções entre r e \lambda (a corda da elipse determinada por r).

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar os pontos de interseção entre a reta e a elipse. Para isso substitui-se y=x na equação da elipse.
9x^{2}+25y^{2}=225
Substituindo y=x:
9x^{2}+25x^{2}=225.
Agora somar os coeficientes:
34x^{2}=225.
Isolando x^{2}:
x^{2}=\frac{225}{34}.
Extraindo a raiz (duas soluções, positiva e negativa):
x=\pm\frac{15}{\sqrt{34}}.
Como y=x, as coordenadas dos pontos de interseção são
\left(\frac{15}{\sqrt{34}},\frac{15}{\sqrt{34}}\right) \quad\text{e}\quad \left(-\frac{15}{\sqrt{34}},-\frac{15}{\sqrt{34}}\right).

Passo 3

Agora precisamos do comprimento do segmento que liga esses dois pontos. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano: para pontos (x_{1},y_{1}) e (x_{2},y_{2}),
\text{dist}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}.
Essa fórmula vem diretamente do Teorema de Pitágoras: a diferença em x é um cateto, a diferença em y é outro, e a hipotenusa é a distância.

Passo 4

Aplicando a fórmula aos pontos encontrados. As diferenças são
\Delta x = \frac{15}{\sqrt{34}}-\left(-\frac{15}{\sqrt{34}}\right)=\frac{30}{\sqrt{34}},
\Delta y = \frac{15}{\sqrt{34}}-\left(-\frac{15}{\sqrt{34}}\right)=\frac{30}{\sqrt{34}}.
Substituindo na fórmula da distância:
\text{comprimento}=\sqrt{\left(\frac{30}{\sqrt{34}}\right)^{2}+\left(\frac{30}{\sqrt{34}}\right)^{2}} =\sqrt{2\cdot\left(\frac{900}{34}\right)} =\sqrt{\frac{1800}{34}}.
Simplificando a fração dentro da raiz (dividindo numerador e denominador por 2):
\sqrt{\frac{1800}{34}}=\sqrt{\frac{900}{17}}.
Extraindo a raiz:
\sqrt{\frac{900}{17}}=\frac{30}{\sqrt{17}}.
Se preferir a forma racionais no denominador:
\frac{30}{\sqrt{17}}=\frac{30\sqrt{17}}{17}.

Passo 5

Resumo final e verificação rápida: as interseções foram simétricas em relação à origem (porque a reta y=x passa pela origem e a elipse é centrada na origem), o que leva a diferenças iguais em x e y e torna o cálculo direto. A simplificação algébrica está correta e não exige calculadora.

Resposta

\dfrac{30\sqrt{17}}{17}

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