Calcule o comprimento da corda que a reta
define na elipse
Passo 1
O enunciado dá duas curvas e pede o comprimento do segmento de reta (a corda) que a reta define dentro da elipse. Informações dadas:
- Reta:
. - Elipse:
.
O que se pede: calcular o comprimento do segmento de reta obtido pelas interseções entree (a corda da elipse determinada por ).
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar os pontos de interseção entre a reta e a elipse. Para isso substitui-se
na equação da elipse.
Substituindo
:
Agora somar os coeficientes:
Isolando
:
Extraindo a raiz (duas soluções, positiva e negativa):
Como
, as coordenadas dos pontos de interseção são
Passo 3
Agora precisamos do comprimento do segmento que liga esses dois pontos. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano: para pontos
e
,
Essa fórmula vem diretamente do Teorema de Pitágoras: a diferença em
é um cateto, a diferença em
é outro, e a hipotenusa é a distância.
Passo 4
Aplicando a fórmula aos pontos encontrados. As diferenças são
Substituindo na fórmula da distância:
Simplificando a fração dentro da raiz (dividindo numerador e denominador por
):
Extraindo a raiz:
Se preferir a forma racionais no denominador:
Passo 5
Resumo final e verificação rápida: as interseções foram simétricas em relação à origem (porque a reta
passa pela origem e a elipse é centrada na origem), o que leva a diferenças iguais em
e
e torna o cálculo direto. A simplificação algébrica está correta e não exige calculadora.