Dispondo de 5 homens e 6 mulheres, de quantos modos se pode:
formar um casal de homem e mulher?

Passo 1

O enunciado dá que existem \,5\, homens e \,6\, mulheres. Pede-se: “de quantos modos se pode formar um casal de homem e mulher?”\n
Informações relevantes:
  • Número de homens: \,5\,.
  • Número de mulheres: \,6\,.
  • Um casal é formado por exatamente um homem e exatamente uma mulher (ou seja, um par misto).

Passo 2

Entender a ideia de contagem: quando uma escolha consiste em duas etapas independentes (escolher um homem e escolher uma mulher), usa-se a regra do produto (princípio multiplicativo). Vou explicar essa regra com calma.\n
Regra do produto (explicação): se uma etapa A pode ser feita de \,a\, maneiras e, para cada escolha em A, uma etapa B pode ser feita de \,b\, maneiras, então as duas etapas juntas podem ser feitas de \,a\cdot b\, maneiras no total. Exemplo concreto: se você tem \,2\, camisas e \,3\, calças, os conjuntos camisa+calça possíveis são \,2\cdot3=6\,.

Passo 3

Aplicando ao problema: a primeira etapa é escolher um homem; a segunda etapa é escolher uma mulher. Essas etapas são independentes (a escolha do homem não restringe as opções de mulher além de já sabidas).\n
Número de maneiras de escolher um homem: \binom{5}{1}=5.\n
Breve nota sobre \binom{n}{k}: é o número de maneiras de escolher k elementos entre n sem ordem; para k=1 vale \binom{n}{1}=n.

Passo 4

Número de maneiras de escolher uma mulher: \binom{6}{1}=6.\n
Pelo princípio multiplicativo, o número total de casais (um homem + uma mulher) é
\binom{5}{1}\cdot\binom{6}{1}=5\cdot6.

Passo 5

Calcule o produto explicitamente:
5\cdot6=30.

Passo 6

Comentário didático final (para evitar confusão na prova): aqui o casal é considerado sem ordem interna (ou seja, o casal “homem A e mulher B” é o mesmo que “mulher B e homem A”). A contagem que fiz ( 30) já trata o casal como uma única unidade. Se alguém pedisse pares ordenados (onde a ordem importa, ex.: primeiro homem, depois mulher), o resultado numérico seria o mesmo porque já usamos escolha distinta por posição; nesse tipo de problema prático a interpretação usual é a de casais não ordenados e a resposta correta é \,30\,.

Resposta

30

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