Dispondo de 5 homens e 6 mulheres, de quantos modos se pode:
enfileirar todos?

Passo 1

O enunciado dá que há \,5 homens e \,6 mulheres e pergunta de quantos modos se pode enfileirar todos (ou seja, colocar em uma fila, um ao lado do outro).
Informações relevantes:
  • Número de homens: \,5.
  • Número de mulheres: \,6.
  • Pergunta: número de maneiras de enfileirar todas as pessoas (usar todas as \,5+6 pessoas, cada pessoa é distinta).

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicado passo a passo). Quando temos n objetos distintos e queremos ordená‑los em fila (uma permutação linear), o número de ordenações diferentes é dado por \,n! (lê‑se “ n fatorial”).
O que é fatorial?
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 3\cdot2\cdot1.
Exemplo simples e concreto para fixar a ideia: se há \,3 pessoas distintas A,B,C, todas as filas possíveis são ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA — ou seja \,3!=3\cdot2\cdot1=6 filas.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: o total de pessoas é
5+6=11.
Como cada pessoa é distinta e queremos enfileirar todas, o número de maneiras possíveis é
11!.

Passo 4

Mostrando a multiplicação que representa \,11! (para ver como calcular sem mágica):
11! = 11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1.
Multiplicando passo a passo (para praticar a conta manualmente):
11\cdot10=110,
110\cdot9=990,
990\cdot8=7920,
7920\cdot7=55440,
55440\cdot6=332640,
332640\cdot5=1663200,
1663200\cdot4=6652800,
6652800\cdot3=19958400.
Para terminar, ainda faltarão os fatores \,2 e \,1, que ao multiplicar convertem \,19958400 no valor final de \,11!.

Passo 5

Interpretação final e dica para a prova: sempre que for enfileirar (ou ordenar em linha) um conjunto de n elementos distintos, escreva imediatamente n!. Se precisar do número explícito, calcule a sequência de produtos mostrada acima de forma organizada (agrupando multiplicações para facilitar a conta manual).

Resposta

\;11! = 39916800

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