Quantos são os anagramas da palavra DISCRETA que têm D em 1^{\circ} lugar, ou I em 2^{\circ} lugar, ou S em 3^{\circ} lugar?

Passo 1

O enunciado pede o número de anagramas da palavra DISCRETA (que tem 8 letras distintas) que satisfazem pelo menos uma das condições:
1. D está na 1ª posição,
2. I está na 2ª posição,
3. S está na 3ª posição.
Vamos usar o Princípio da Inclusão–Exclusão para conjuntos.

Passo 2

Seja
\,A =anagramas com D na 1ª posição,
\,B =anagramas com I na 2ª posição,
\,C =anagramas com S na 3ª posição.
Para calcular \lvert A\rvert, fixamos D na 1ª posição e permutamos as 7 letras restantes em qualquer ordem, obtendo
\lvert A\rvert = 7! = 5040.
Analogamente
\lvert B\rvert = 7! = 5040, \quad \lvert C\rvert = 7! = 5040.

Passo 3

Agora calculamos as interseções de dois conjuntos, por exemplo A\cap B: fixamos D em 1 e I em 2, restam 6 letras livres, logo
\lvert A\cap B\rvert = 6! = 720.
De modo idêntico,
\lvert A\cap C\rvert = 6! = 720, \quad \lvert B\cap C\rvert = 6! = 720.

Passo 4

A interseção tripla A\cap B\cap C fixa D na 1, I na 2 e S na 3, sobrando 5 letras para permutar:
\lvert A\cap B\cap C\rvert = 5! = 120.

Passo 5

Pelo Princípio da Inclusão–Exclusão,
\lvert A\cup B\cup C\rvert = \lvert A\rvert+\lvert B\rvert+\lvert C\rvert - \bigl(\lvert A\cap B\rvert+\lvert A\cap C\rvert+\lvert B\cap C\rvert\bigr) + \lvert A\cap B\cap C\rvert.
Substituindo os valores:
\lvert A\cup B\cup C\rvert = 3\cdot 5040 \;-\; 3\cdot 720 \;+\; 120 = 15120 - 2160 + 120 = 13080.

Resposta

13080 anagramas.

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