Usando a relação de Stifel, escreva as seis primeiras linhas do triângulo de Pascal. Mostre as principais propriedades desse triângulo.
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Passo 1

O enunciado pede para montar as seis primeiras linhas do triângulo de Pascal usando a relação de Stifel, que é justamente o fato de que cada coeficiente binomial \binom{n}{k} vale a soma dos dois de cima:
\binom{n}{k} =\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}.
Também precisamos lembrar das condições de contorno \binom{n}{0}=1 e \binom{n}{n}=1.

Passo 2

Começamos da linha n=0, onde \binom{0}{0}=1. Para gerar cada linha nova, usamos
1. nos extremos: \binom{n}{0}=1 e \binom{n}{n}=1,
2. no interior:
\binom{n}{k} =\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k},\quad k=1,2,\dots,n-1.

Passo 3

Aplicando essa regra de forma iterativa a partir de
linha 0: [1],
chegamos a:
– linha 1: \bigl[1,\;1\bigr],
– linha 2: \bigl[1,\;1+1,\;1\bigr]=[1,2,1],
– linha 3: \bigl[1,\;1+2,\;2+1,\;1\bigr]=[1,3,3,1],
– linha 4: \bigl[1,\;1+3,\;3+3,\;3+1,\;1\bigr]=[1,4,6,4,1],
– linha 5: \bigl[1,\;1+4,\;4+6,\;6+4,\;4+1,\;1\bigr]=[1,5,10,10,5,1].

Passo 4

Assim, as seis primeiras linhas (começando em n=0) são:
\bullet Linha 0: \;1 \bullet Linha 1: \;1\;1 \bullet Linha 2: \;1\;2\;1 \bullet Linha 3: \;1\;3\;3\;1 \bullet Linha 4: \;1\;4\;6\;4\;1 \bullet Linha 5: \;1\;5\;10\;10\;5\;1

Passo 5

Principais propriedades do triângulo de Pascal:
\bullet Simetria:
\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}.
\bullet Soma das entradas da linha n:
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}.
\bullet Relação de Stifel (recorrência interna):
\binom{n}{k} =\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}.
\bullet Teorema binomial: para todo x,
(1+x)^{n} =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,x^{k}.
\bullet Interpretação combinatória:
\binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k objetos entre n.

Resposta

\bullet As seis primeiras linhas são
\bullet Linha 0: \;1 \bullet Linha 1: \;1\;1 \bullet Linha 2: \;1\;2\;1 \bullet Linha 3: \;1\;3\;3\;1 \bullet Linha 4: \;1\;4\;6\;4\;1 \bullet Linha 5: \;1\;5\;10\;10\;5\;1 \bullet Principais propriedades
– Simetria: \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}
– Soma da linha n: \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}
– Recorrência de Stifel: \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}
– Teorema binomial: (1+x)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}
– Interpretação combinatória: \binom{n}{k} conta as escolhas de k em n.

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