Quantos são os anagramas da palavra FELICIDADE? Quantos começam por consoante? OBS: Não é necessário finalizar os cálculos desta questão.
Passo 1
O enunciado dá a palavra “FELICIDADE” e pede duas coisas:
- Quantos são os anagramas (todas as permutações das letras, contando as repetições).
- Quantos desses anagramas começam por consoante.
Informações extraídas da palavra (contagem das letras):
- Total de letras:
. - Letras repetidas e suas multiplicidades:
-
aparece vezes. -
aparece vezes. -
aparece vezes. -
aparecem vez cada.
-
As consoantes presentes (em português, vogais são
) são
. Contagem de consoantes (com multiplicidade):
.
Passo 2
Conceito necessário: número de permutações de um multiconjunto (anagramas).
- Se houver um total de
objetos, com grupos de objetos idênticos de tamanhos (onde ), o número de permutações distintas é
Explicando cada símbolo:
-
(fatorial de ) é o número de permutações quando todos os objetos são distintos. - Dividimos por cada
porque permutar os objetos idênticos entre si não gera arranjos novos.
Exemplo curto e concreto para fixar: para a palavra(duas e um ), , com (para as ) e , então o número de anagramas é .
Passo 3
Aplicando a fórmula à palavra
:
- Aqui
e os grupos repetidos são (os demais têm multiplicidade , que não alteram o denominador).
Portanto o número total de anagramas é
(Não é necessário calcular o valor numérico final, conforme o enunciado.)
Passo 4
Agora queremos contar quantos anagramas começam por consoante.
Estratégia didática: contar por caso, escolhendo qual consoante ocupa a primeira posição e contando as permutações das letras restantes (ajustando as multiplicidades restantes).
Estratégia didática: contar por caso, escolhendo qual consoante ocupa a primeira posição e contando as permutações das
Consoantes e suas multiplicidades na palavra:
-
: ocorrência. -
: ocorrência. -
: ocorrência. -
: ocorrências.
Passo 5
Contagem caso a caso (colocando uma consoante fixa na primeira posição):
- Se a primeira letra for
(ou, simetricamente, ou ) — cada uma dessas tem multiplicidade :
- Após fixar essa letra, restam
letras com repetições . - Número de arranjos para as demais posições é
- Como há três consoantes desse tipo (
), a contribuição total desses casos é
- Se a primeira letra for
(letra com multiplicidade ):
- Ao usar um
na primeira posição, resta ocorrência de entre as letras remanescentes. - As repetições restantes são
. - Número de arranjos das demais posições é
(Nota: não aparece mais o fator
por
porque agora só resta uma
.)
Passo 6
Somando as contribuições dos casos obtém-se o total de anagramas que começam por consoante:
Podemos simplificar essa expressão observando que
(porque multiplicar o denominador por
equivale a dividir por
, e
). Assim
Observação intuitiva: havia
letras consoantes contando multiplicidade, então o resultado é
do total de anagramas, isto é, metade do total (essa é uma forma útil de verificação).