(1,0) Quantos são os anagramas da palavra FELICIDADE? Quantos começam por consoante? OBS: Não é necessário finalizar os cálculos desta questão.

Passo 1

O enunciado dá a palavra “FELICIDADE” e pede duas coisas:
  • Quantos são os anagramas (todas as permutações das letras, contando as repetições).
  • Quantos desses anagramas começam por consoante.
Informações extraídas da palavra (contagem das letras):
  • Total de letras: \,10.
  • Letras repetidas e suas multiplicidades:
    • \,E aparece 2 vezes.
    • \,I aparece 2 vezes.
    • \,D aparece 2 vezes.
    • \,F,L,C,A aparecem 1 vez cada.
As consoantes presentes (em português, vogais são \,A,E,I,O,U) são \,F,L,C,D. Contagem de consoantes (com multiplicidade): \,1+1+1+2=5.

Passo 2

Conceito necessário: número de permutações de um multiconjunto (anagramas).
  • Se houver um total de \,n objetos, com grupos de objetos idênticos de tamanhos \,n_1,n_2,\dots,n_k (onde \,n_1+\cdots+n_k=n), o número de permutações distintas é
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_k!}.
Explicando cada símbolo:
  • \,n! (fatorial de \,n) é o número de permutações quando todos os objetos são distintos.
  • Dividimos por cada \,n_i! porque permutar os objetos idênticos entre si não gera arranjos novos.
    Exemplo curto e concreto para fixar: para a palavra \,\text{ANA} (duas \,A e um \,N), n=3, com n_1=2 (para as \,A) e n_2=1, então o número de anagramas é \dfrac{3!}{2!\,1!}=3.

Passo 3

Aplicando a fórmula à palavra \,\text{FELICIDADE}:
  • Aqui \,n=10 e os grupos repetidos são \,E(2),I(2),D(2) (os demais têm multiplicidade 1, que não alteram o denominador).
    Portanto o número total de anagramas é
\frac{10!}{2!\,2!\,2!}.
(Não é necessário calcular o valor numérico final, conforme o enunciado.)

Passo 4

Agora queremos contar quantos anagramas começam por consoante.
Estratégia didática: contar por caso, escolhendo qual consoante ocupa a primeira posição e contando as permutações das \,9 letras restantes (ajustando as multiplicidades restantes).
Consoantes e suas multiplicidades na palavra:
  • \,F: 1 ocorrência.
  • \,L: 1 ocorrência.
  • \,C: 1 ocorrência.
  • \,D: 2 ocorrências.

Passo 5

Contagem caso a caso (colocando uma consoante fixa na primeira posição):
  1. Se a primeira letra for \,F (ou, simetricamente, \,L ou \,C) — cada uma dessas tem multiplicidade 1:
  • Após fixar essa letra, restam 9 letras com repetições \,E(2),I(2),D(2).
  • Número de arranjos para as demais posições é
\frac{9!}{2!\,2!\,2!}.
  • Como há três consoantes desse tipo ( F,L,C), a contribuição total desses casos é
3\cdot\frac{9!}{2!\,2!\,2!}.
  1. Se a primeira letra for \,D (letra com multiplicidade 2):
  • Ao usar um \,D na primeira posição, resta 1 ocorrência de \,D entre as \,9 letras remanescentes.
  • As repetições restantes são \,E(2),I(2),D(1).
  • Número de arranjos das demais posições é
\frac{9!}{2!\,2!}.
(Nota: não aparece mais o fator 2! por \,D porque agora só resta uma \,D.)

Passo 6

Somando as contribuições dos casos obtém-se o total de anagramas que começam por consoante:
3\cdot\frac{9!}{2!\,2!\,2!}+\frac{9!}{2!\,2!}.
Podemos simplificar essa expressão observando que \dfrac{9!}{2!\,2!} = 2\cdot\dfrac{9!}{2!\,2!\,2!} (porque multiplicar o denominador por 2! equivale a dividir por 2, e 2!=2). Assim
3\cdot\frac{9!}{2!\,2!\,2!}+\frac{9!}{2!\,2!} =3\cdot\frac{9!}{2!\,2!\,2!}+2\cdot\frac{9!}{2!\,2!\,2!} =5\cdot\frac{9!}{2!\,2!\,2!}.
Observação intuitiva: havia 5 letras consoantes contando multiplicidade, então o resultado é \dfrac{5}{10} do total de anagramas, isto é, metade do total (essa é uma forma útil de verificação).

Resposta

\dfrac{10!}{2!\,2!\,2!}
\;5\cdot\dfrac{9!}{2!\,2!\,2!}

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