Quantos são os anagramas da palavra RESIDUO:
que têm a letra R no
lugar ou a letra E no
lugar?
que têm a letra R no
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos anagramas da palavra
satisfazem a condição “a letra
está no
lugar OU a letra
está no
lugar”.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A palavra é
. - As letras presentes são
(total de 7 letras). - Cada letra aparece apenas uma vez (não há repetições).
Passo 2
Conceito importante: anagramas de uma palavra com todas as letras distintas correspondem às permutações das letras.
Definição de fatorial: para um inteiro positivo , o fatorial
é o produto
Definição de fatorial: para um inteiro positivo
Exemplo concreto e simples: para 3 letras distintas
, o número de anagramas é
que corresponde às 6 ordens possíveis:
. Isso ilustra a ideia de fatorial aplicada a anagramas.
Passo 3
Contar anagramas com
no
lugar.
Se fixamos na primeira posição, restam
posições a preencher com as
letras restantes
. O número de formas de permutar essas
letras é
Se fixamos
Portanto há
anagramas com
na primeira posição.
Passo 4
Contar anagramas com
no
lugar.
De maneira análoga: se fixamos na segunda posição, restam
posições para as
letras restantes
. O número de permutações dessas
letras é novamente
De maneira análoga: se fixamos
Logo há
anagramas com
na segunda posição.
Passo 5
Contar anagramas que satisfazem ambas as condições simultaneamente:
no
lugar E
no
lugar.
Se fixamos ambas as posições, sobram letras para as
posições restantes. O número de permutações é
Se fixamos ambas as posições, sobram
Portanto há
anagramas que têm
em 1º e
em 2º ao mesmo tempo.
Passo 6
Explicação do princípio usado (inclusão-exclusão) de forma simples: ao somar o número de anagramas com
em 1º e o número com
em 2º contamos duas vezes os anagramas que satisfazem ambas as condições. Para obter o total de anagramas que satisfazem “R em 1º OU E em 2º” devemos somar os dois conjuntos e subtrair a interseção. Assim:
Passo 7
Aplicando os números encontrados:
Resposta
1320