Quantos são os anagramas da palavra RESIDUO:
que têm a letra R no 1^{\mathrm{O}} lugar ou a letra E no 2^{\mathrm{O}} lugar?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos anagramas da palavra \mathrm{RESIDUO} satisfazem a condição “a letra R está no 1^{\mathrm{o}} lugar OU a letra E está no 2^{\mathrm{o}} lugar”.
Informações fornecidas:
  • A palavra é \mathrm{RESIDUO}.
  • As letras presentes são R, E, S, I, D, U, O (total de 7 letras).
  • Cada letra aparece apenas uma vez (não há repetições).

Passo 2

Conceito importante: anagramas de uma palavra com todas as letras distintas correspondem às permutações das letras.
Definição de fatorial: para um inteiro positivo n, o fatorial n! é o produto
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1.
Exemplo concreto e simples: para 3 letras distintas A,B,C, o número de anagramas é
3! = 3\cdot2\cdot1 = 6,
que corresponde às 6 ordens possíveis: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Isso ilustra a ideia de fatorial aplicada a anagramas.

Passo 3

Contar anagramas com R no 1^{\mathrm{o}} lugar.
Se fixamos R na primeira posição, restam 6 posições a preencher com as 6 letras restantes \{E,S,I,D,U,O\}. O número de formas de permutar essas 6 letras é
6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 720.
Portanto há 720 anagramas com R na primeira posição.

Passo 4

Contar anagramas com E no 2^{\mathrm{o}} lugar.
De maneira análoga: se fixamos E na segunda posição, restam 6 posições para as 6 letras restantes \{R,S,I,D,U,O\}. O número de permutações dessas 6 letras é novamente
6! = 720.
Logo há 720 anagramas com E na segunda posição.

Passo 5

Contar anagramas que satisfazem ambas as condições simultaneamente: R no 1^{\mathrm{o}} lugar E E no 2^{\mathrm{o}} lugar.
Se fixamos ambas as posições, sobram 5 letras para as 5 posições restantes. O número de permutações é
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.
Portanto há 120 anagramas que têm R em 1º e E em 2º ao mesmo tempo.

Passo 6

Explicação do princípio usado (inclusão-exclusão) de forma simples: ao somar o número de anagramas com R em 1º e o número com E em 2º contamos duas vezes os anagramas que satisfazem ambas as condições. Para obter o total de anagramas que satisfazem “R em 1º OU E em 2º” devemos somar os dois conjuntos e subtrair a interseção. Assim:
\#(\text{R em 1º ou E em 2º}) = \#(\text{R em 1º}) + \#(\text{E em 2º}) - \#(\text{R em 1º e E em 2º}).ºººººº

Passo 7

Aplicando os números encontrados:
\# = 6! + 6! - 5! = 720 + 720 - 120 = 1320.

Resposta

1320

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