Quantos são os anagramas da palavra RESIDUO:
que têm a letra R no 1^{\underline{\mathrm{O}}} lugar ou a letra E no 2^{\underline{\mathrm{O}}} lugar ou a letra S no 3^{\underline{\mathrm{O}}} lugar?
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos anagramas da palavra “RESIDUO” satisfazem a condição “a letra R está no 1^{\underline{\mathrm{O}}} lugar OU a letra E está no 2^{\underline{\mathrm{O}}} lugar OU a letra S está no 3^{\underline{\mathrm{O}}} lugar” (ou seja, pelo menos uma dessas três condições ocorre).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A palavra é “RESIDUO”.
As letras da palavra são R, E, S, I, D, U, O. Todas as sete letras são distintas.
O total de letras é 7.
Queremos o número de permutações (anagramas) de todas as letras que satisfazem pelo menos uma das três condições posicionais indicadas (posição 1 com R, posição 2 com E, posição 3 com S).
Passo 2
Conceito básico usado: permutações de n objetos distintos.
Se há n objetos distintos, o número de maneiras de ordená‑los é o fatorial n!.
Definição: n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1.
Aplicando ao nosso caso:
O número total de anagramas (sem restrição) é 7! = 7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 5040.
Isso é só para referência; a resposta final será uma parte desses 5040.
Passo 3
Organização do problema com conjuntos (notação):
Seja A o conjunto de anagramas onde a letra R está na posição 1.
Seja B o conjunto de anagramas onde a letra E está na posição 2.
Seja C o conjunto de anagramas onde a letra S está na posição 3.
Queremos |A\cup B\cup C|: o número de anagramas que satisfazem pelo menos uma das condições.
Passo 4
Contando |A| (casos com R fixo na posição 1):
Se a posição 1 já está ocupada por R, restam 6 letras distintas para preencher as 6 posições restantes.
Pelo conceito de permutações, o número de arranjos é 6! = 720.
Logo |A| = 720.
Passo 5
Contando |B| e |C| (simetria):
Pelo mesmo raciocínio, fixando E na posição 2 sobra 6! arranjos para as demais posições. Logo |B| = 6! = 720.
Fixando S na posição 3 também sobra 6! arranjos. Logo |C| = 6! = 720.
Passo 6
Contando as interseções de dois conjuntos:
|A\cap B|: R em 1 e E em 2 fixos; restam 5 letras para 5 posições, então |A\cap B| = 5! = 120.
|A\cap C|: R em 1 e S em 3 fixos; restam 5 posições: |A\cap C| = 5! = 120.
|B\cap C|: E em 2 e S em 3 fixos; restam 5 posições: |B\cap C| = 5! = 120.
Passo 7
Contando a interseção dos três conjuntos:
|A\cap B\cap C|: R em 1, E em 2, S em 3 fixos; restam 4 letras para as 4 posições restantes, então |A\cap B\cap C| = 4! = 24.
Passo 8
Princípio da inclusão-exclusão (explicação e fórmula):
Quando queremos contar o número de elementos que satisfazem pelo menos uma de várias propriedades, devemos somar os counts individuais, subtrair as interseções de pares (porque foram contadas duas vezes) e adicionar as interseções de três (porque foram subtraídas demais), e assim por diante.