Quantos são os anagramas da palavra RESIDUO:
que têm a letra R no 1^{\underline{\mathrm{O}}} lugar ou a letra E no 2^{\underline{\mathrm{O}}} lugar ou a letra S no 3^{\underline{\mathrm{O}}} lugar?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos anagramas da palavra “RESIDUO” satisfazem a condição “a letra R está no 1^{\underline{\mathrm{O}}} lugar OU a letra E está no 2^{\underline{\mathrm{O}}} lugar OU a letra S está no 3^{\underline{\mathrm{O}}} lugar” (ou seja, pelo menos uma dessas três condições ocorre).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A palavra é “RESIDUO”.
  • As letras da palavra são R, E, S, I, D, U, O. Todas as sete letras são distintas.
  • O total de letras é 7.
  • Queremos o número de permutações (anagramas) de todas as letras que satisfazem pelo menos uma das três condições posicionais indicadas (posição 1 com R, posição 2 com E, posição 3 com S).

Passo 2

Conceito básico usado: permutações de n objetos distintos.
  • Se há n objetos distintos, o número de maneiras de ordená‑los é o fatorial n!.
  • Definição: n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1.
Aplicando ao nosso caso:
  • O número total de anagramas (sem restrição) é 7! = 7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 5040.
Isso é só para referência; a resposta final será uma parte desses 5040.

Passo 3

Organização do problema com conjuntos (notação):
  • Seja A o conjunto de anagramas onde a letra R está na posição 1.
  • Seja B o conjunto de anagramas onde a letra E está na posição 2.
  • Seja C o conjunto de anagramas onde a letra S está na posição 3.
Queremos |A\cup B\cup C|: o número de anagramas que satisfazem pelo menos uma das condições.

Passo 4

Contando |A| (casos com R fixo na posição 1):
  • Se a posição 1 já está ocupada por R, restam 6 letras distintas para preencher as 6 posições restantes.
  • Pelo conceito de permutações, o número de arranjos é 6! = 720.
Logo |A| = 720.

Passo 5

Contando |B| e |C| (simetria):
  • Pelo mesmo raciocínio, fixando E na posição 2 sobra 6! arranjos para as demais posições. Logo |B| = 6! = 720.
  • Fixando S na posição 3 também sobra 6! arranjos. Logo |C| = 6! = 720.

Passo 6

Contando as interseções de dois conjuntos:
  • |A\cap B|: R em 1 e E em 2 fixos; restam 5 letras para 5 posições, então |A\cap B| = 5! = 120.
  • |A\cap C|: R em 1 e S em 3 fixos; restam 5 posições: |A\cap C| = 5! = 120.
  • |B\cap C|: E em 2 e S em 3 fixos; restam 5 posições: |B\cap C| = 5! = 120.

Passo 7

Contando a interseção dos três conjuntos:
  • |A\cap B\cap C|: R em 1, E em 2, S em 3 fixos; restam 4 letras para as 4 posições restantes, então |A\cap B\cap C| = 4! = 24.

Passo 8

Princípio da inclusão-exclusão (explicação e fórmula):
  • Quando queremos contar o número de elementos que satisfazem pelo menos uma de várias propriedades, devemos somar os counts individuais, subtrair as interseções de pares (porque foram contadas duas vezes) e adicionar as interseções de três (porque foram subtraídas demais), e assim por diante.
  • Para três conjuntos a fórmula é:
|A\cup B\cup C| = |A| + |B| + |C| - |A\cap B| - |A\cap C| - |B\cap C| + |A\cap B\cap C|.

Passo 9

Aplicando a fórmula com os valores que encontramos:
  • Substituindo:
|A\cup B\cup C| = 720 + 720 + 720 - 120 - 120 - 120 + 24.
  • Calculando passo a passo:
720 + 720 + 720 = 2160,
120 + 120 + 120 = 360,
2160 - 360 = 1800,
1800 + 24 = 1824.
Portanto o número de anagramas de “RESIDUO” que têm R na 1ª posição ou E na 2ª posição ou S na 3ª posição é 1824.

Resposta

1824

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