Quantos são os números naturais
, maiores que 0 e menores que 2006 , tais que a expressão
é um número natural?
Passo 1
O enunciado pede para contar todos os naturais
tais que
e
é natural.
O conteúdo é simplificação de expressão algébrica e condição de divisibilidade.
é natural.
O conteúdo é simplificação de expressão algébrica e condição de divisibilidade.
Passo 2
Vamos simplificar
Note que
e
. Logo, para
,
Passo 3
A expressão só faz sentido para
, pois em
o denominador é zero.
Portanto consideramos e avaliamos quando
Portanto consideramos
é inteiro.
Passo 4
Para que
seja inteiro, é preciso que
.
Como e
são consecutivos, um deles é par, logo já há fator
.
Falta então o fator . Precisamos de
Como
Falta então o fator
isto é,
ou
.
Em termos de classe, isso equivale a
Em termos de classe, isso equivale a
Passo 5
No intervalo
há
valores.
Destes, os que não servem são os .
O primeiro com
é
e o último é
.
A quantidade de termos da progressão é
Destes, os que não servem são os
O primeiro
A quantidade de termos da progressão
Logo o número de
válidos é