Quantos são os números naturais n, maiores que 0 e menores que 2006 , tais que a expressão \frac{n^{3}-n}{6 n-6} é um número natural?

Passo 1

O enunciado pede para contar todos os naturais n tais que 1 \le n \le 2005 e \displaystyle \frac{n^{3}-n}{6n-6}
é natural.
O conteúdo é simplificação de expressão algébrica e condição de divisibilidade.

Passo 2

Vamos simplificar
\frac{n^{3}-n}{6n-6}.
Note que n^{3}-n=n(n^{2}-1)=n(n-1)(n+1) e 6n-6=6(n-1). Logo, para n\neq1,
\frac{n^{3}-n}{6n-6} =\frac{n(n-1)(n+1)}{6(n-1)} =\frac{n(n+1)}{6}.

Passo 3

A expressão só faz sentido para n\neq1, pois em n=1 o denominador é zero.
Portanto consideramos 2\le n\le2005 e avaliamos quando
\frac{n(n+1)}{6}
é inteiro.

Passo 4

Para que \tfrac{n(n+1)}{6} seja inteiro, é preciso que 6\mid n(n+1).
Como n e n+1 são consecutivos, um deles é par, logo já há fator 2.
Falta então o fator 3. Precisamos de
3\mid n(n+1),
isto é, n\equiv0\pmod{3} ou n+1\equiv0\pmod{3}.
Em termos de classe, isso equivale a
n\equiv0\pmod{3} \quad\text{ou}\quad n\equiv2\pmod{3}.

Passo 5

No intervalo 2\le n\le2005 2005-2+1=2004 valores.
Destes, os que não servem são os n\equiv1\pmod{3}.
O primeiro n\ge2 com n\equiv1\pmod{3} é 4 e o último é 2005.
A quantidade de termos da progressão 4,7,10,\dots,2005 é
\frac{2005-4}{3}+1 =667+1 =668.
Logo o número de n válidos é
2004 - 668 = 1336.

Resposta

1336

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