Os restos das divisões de 247 e 315 por x são 7 e 3 , respectivamente. Determine o maior valor possível para x.

Passo 1

O enunciado diz que, ao dividir 247 por x, o resto é 7, e ao dividir 315 por x, o resto é 3. O conteúdo usado aqui é o fato de que, se o resto da divisão de n por x é r, então
x \mid (n - r).

Passo 2

Da primeira divisão temos
x \mid (247 - 7) = 240,
e da segunda divisão
x \mid (315 - 3) = 312.
Logo, x é um divisor comum de 240 e 312.

Passo 3

Para encontrar o maior valor possível de x, calculamos
\gcd(240,312).
Pelo algoritmo de Euclides:
312 = 240 \cdot 1 + 72,
240 = 72 \cdot 3 + 24,
72 = 24 \cdot 3 + 0.
Portanto
\gcd(240,312) = 24.

Passo 4

Precisamos ainda garantir que o resto 7 é menor que o divisor x. Como 24>7, a condição de resto é satisfeita e 24 é admissível.

Resposta

24

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