Mostre que se a, b \in \mathbb{Z} forem tais que a^{2}+a b+b^{2} deixa resto 0 na divisão por 3 então a e b deixam o mesmo resto na divisão por 3 .

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados a,b\in\mathbb{Z}, se
3 \mid \bigl(a^{2}+a b+b^{2}\bigr)
então
a\equiv b\pmod{3}.
Vamos usar fatoração de cubos e uma propriedade de congruências módulo 3.

Passo 2

Lembramos da identidade de fatoração
a^3 - b^3 = (a - b)\,(a^2 + a b + b^2).

Passo 3

Como 3\mid(a^{2}+a b+b^{2}), segue que
3 \mid (a - b)\,(a^2 + a b + b^2)
ou seja,
3 \mid \bigl(a^3 - b^3\bigr).

Passo 4

Sabemos que, para todo inteiro x,
x^3 \equiv x \pmod{3},
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a^3 - b^3 \equiv a - b \pmod{3}.

Passo 5

Da congruência anterior e do fato de 3\mid(a^3 - b^3) concluímos
a - b \equiv 0 \pmod{3},
isto é,
a\equiv b\pmod{3}.

Resposta

a e b deixam o mesmo resto na divisão por 3.

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