Quantas são as extrações nas quais se formam:
dois pares (duas cartas em um grupo, duas em outro grupo e uma em um terceiro grupo)?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantas extrações (mãos de 5 cartas, sem ordem) de um baralho padrão de 52 cartas resultam em “dois pares”, isto é: duas cartas de um mesmo valor (rank), duas cartas de outro valor diferente e uma quinta carta de um terceiro valor diferente dos dois anteriores.
Informações dadas e assumidas:
  • Baralho padrão com 52 cartas.
  • Existem 13 valores (ranks) distintos e 4 naipes (suits) para cada valor.
  • Extração sem ordem de 5 cartas.
  • Queremos contar mãos com a configuração: duas cartas do mesmo valor, duas de outro valor distinto, e uma carta cujo valor é distinto dos dois pares.

Passo 2

Estratégia de contagem (visão geral): vamos construir a mão escolhendo, passo a passo, (i) quais são os dois valores que formam pares, (ii) quais são as duas cartas (naipes) de cada um desses valores, (iii) qual é o valor da carta isolada (kicker) e (iv) qual o naipe dessa carta. Como as escolhas em cada etapa são independentes (dadas as restrições) usamos o princípio multiplicativo: multiplicamos o número de possibilidades de cada etapa. Antes, explico o que é combinação utilizada aqui.
Explicação rápida de combinação: \binom{n}{k} (lê‑se “n escolhe k”) é o número de maneiras de escolher k elementos distintos de um conjunto com n elementos, sem considerar ordem. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot 2\cdot1. Ex.: \binom{13}{2} conta quantos pares de valores diferentes podemos escolher entre 13 valores.

Passo 3

Escolher os valores (ranks) que serão os pares: precisamos escolher 2 valores distintos entre os 13 disponíveis. O número de maneiras é
\binom{13}{2}.
Isto evita contar duas vezes a mesma combinação de pares na ordem trocada (por exemplo, {Q,8} é a mesma escolha que {8,Q}).

Passo 4

Para cada um dos dois valores escolhidos, escolhemos quais 2 dos 4 naipes aparecerão nesse par. Para um valor fixo há \binom{4}{2} maneiras de escolher 2 naipes entre 4. Como temos dois pares (valores distintos) e as escolhas de naipes são independentes entre os valores, o total de escolhas de naipes para os pares é
\binom{4}{2}\cdot\binom{4}{2}=\binom{4}{2}^2.

Passo 5

Escolher a quinta carta (o “kicker”): o valor dessa carta deve ser diferente dos dois valores já usados nos pares, então restam 13-2=11 valores possíveis. Para o valor do kicker temos \binom{11}{1} possibilidades (ou simplesmente 11). Para cada escolha de valor do kicker, o naipe pode ser qualquer um dos 4, ou seja \binom{4}{1}=4. Logo as possibilidades para o kicker são
\binom{11}{1}\cdot\binom{4}{1}.

Passo 6

Juntando tudo pelo princípio multiplicativo: o número total de mãos com dois pares é
\binom{13}{2}\cdot \binom{4}{2}^2\cdot \binom{11}{1}\cdot \binom{4}{1}.
Explicação sobre contagem e ausência de dupla contagem: não contamos em excesso porque (i) os dois valores dos pares foram escolhidos como um conjunto através de \binom{13}{2} (sem ordem), (ii) para cada valor escolhemos os naipes do par dentro daquele valor, e (iii) o kicker é de um valor distinto. Assim cada mão do tipo “dois pares” é obtida por exatamente uma escolha nessa construção.

Passo 7

Calculemos cada fator numericamente:
\binom{13}{2}=\frac{13\cdot12}{2}=78,
\binom{4}{2}=\frac{4\cdot3}{2}=6,
\binom{11}{1}=11,
\binom{4}{1}=4.

Passo 8

Agora fazemos as multiplicações passo a passo:
Primeiro \binom{4}{2}^2=6^2=36. Então o produto parcial
78\cdot 36.
Calculemos 78\cdot36:
78\cdot36=78\cdot(30+6)=78\cdot30+78\cdot6=2340+468=2808.
O restante é \binom{11}{1}\cdot\binom{4}{1}=11\cdot4=44.

Passo 9

Multiplicamos 2808 por 44:
2808\cdot44=2808\cdot(40+4)=2808\cdot40+2808\cdot4=112320+11232=123552.
Portanto o número total de extrações que formam dois pares é 123552.

Resposta

123552

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