Quantas são as extrações nas quais se formam:
dois pares (duas cartas em um grupo, duas em outro grupo e uma em um terceiro grupo)?
dois pares (duas cartas em um grupo, duas em outro grupo e uma em um terceiro grupo)?
Passo 1
O enunciado pede: contar quantas extrações (mãos de 5 cartas, sem ordem) de um baralho padrão de 52 cartas resultam em “dois pares”, isto é: duas cartas de um mesmo valor (rank), duas cartas de outro valor diferente e uma quinta carta de um terceiro valor diferente dos dois anteriores.
Informações dadas e assumidas:
Informações dadas e assumidas:
- Baralho padrão com
cartas. - Existem
valores (ranks) distintos e naipes (suits) para cada valor. - Extração sem ordem de
cartas. - Queremos contar mãos com a configuração: duas cartas do mesmo valor, duas de outro valor distinto, e uma carta cujo valor é distinto dos dois pares.
Passo 2
Estratégia de contagem (visão geral): vamos construir a mão escolhendo, passo a passo, (i) quais são os dois valores que formam pares, (ii) quais são as duas cartas (naipes) de cada um desses valores, (iii) qual é o valor da carta isolada (kicker) e (iv) qual o naipe dessa carta. Como as escolhas em cada etapa são independentes (dadas as restrições) usamos o princípio multiplicativo: multiplicamos o número de possibilidades de cada etapa. Antes, explico o que é combinação utilizada aqui.
Explicação rápida de combinação:
(lê‑se “n escolhe k”) é o número de maneiras de escolher
elementos distintos de um conjunto com
elementos, sem considerar ordem. A fórmula é
onde
(fatorial) é
. Ex.:
conta quantos pares de valores diferentes podemos escolher entre 13 valores.
Passo 3
Escolher os valores (ranks) que serão os pares: precisamos escolher
valores distintos entre os
disponíveis. O número de maneiras é
Isto evita contar duas vezes a mesma combinação de pares na ordem trocada (por exemplo, {Q,8} é a mesma escolha que {8,Q}).
Passo 4
Para cada um dos dois valores escolhidos, escolhemos quais
dos
naipes aparecerão nesse par. Para um valor fixo há
maneiras de escolher 2 naipes entre 4. Como temos dois pares (valores distintos) e as escolhas de naipes são independentes entre os valores, o total de escolhas de naipes para os pares é
Passo 5
Escolher a quinta carta (o “kicker”): o valor dessa carta deve ser diferente dos dois valores já usados nos pares, então restam
valores possíveis. Para o valor do kicker temos
possibilidades (ou simplesmente
). Para cada escolha de valor do kicker, o naipe pode ser qualquer um dos
, ou seja
. Logo as possibilidades para o kicker são
Passo 6
Juntando tudo pelo princípio multiplicativo: o número total de mãos com dois pares é
Explicação sobre contagem e ausência de dupla contagem: não contamos em excesso porque (i) os dois valores dos pares foram escolhidos como um conjunto através de
(sem ordem), (ii) para cada valor escolhemos os naipes do par dentro daquele valor, e (iii) o kicker é de um valor distinto. Assim cada mão do tipo “dois pares” é obtida por exatamente uma escolha nessa construção.
Passo 7
Calculemos cada fator numericamente:
Passo 8
Agora fazemos as multiplicações passo a passo:
Primeiro . Então o produto parcial
Primeiro
Calculemos
:
O restante é
.
Passo 9
Multiplicamos
por
:
Portanto o número total de extrações que formam dois pares é
.