- Sejam
e
, com
. Quantas são as funções
estritamente crescentes?
Passo 1
O enunciado pede: “Quantas são as funções
estritamente crescentes?”, onde foram dadas as informações:
-
. -
. - Está explícito que
.
A pergunta é contar o número de funçõesque satisfazem a propriedade “estritamente crescente”.
Passo 2
Entendendo exatamente o que significa “estritamente crescente” no contexto das funções
.
- Dizemos que
é estritamente crescente se, para quaisquer com , vale . - Como
tem os elementos em ordem natural, essa condição equivale a exigir
Ou seja, os valores da função sobre
formam uma sequência estritamente crescente de elementos de
.
Passo 3
Observação chave (ideia central da contagem): a informação essencial de uma função estritamente crescente
é exatamente o conjunto dos valores imagem
Esse conjunto tem as seguintes propriedades:
- Tem exatamente
elementos (porque são todos distintos, por serem estritamente crescentes). - Cada elemento pertence a
. - Uma vez escolhido esse conjunto de
elementos, há uma única maneira de atribuí-los a respeitando a ordem estrita: ordenar os elementos do conjunto em ordem crescente e tomar como o menor, como o segundo menor, e assim por diante.
Portanto existe uma correspondência biunívoca (bijeção) entre:
- funções estritamente crescentes
, e - subconjuntos de
com exatamente elementos.
Explicando por etapas a bijeção:
- Injecão: duas funções distintas teriam imagens diferentes como tuplas ordenadas, portanto seus conjuntos imagem diferem.
- Sobjectão: dado qualquer subconjunto
com , ordenando os elementos de em ordem crescente obtemos uma sequência ; definir produz uma função estritamente crescente com imagem .
Logo é bijetiva.
Passo 4
Agora a contagem reduz-se a contar quantos subconjuntos de
têm exatamente
elementos. Esse número é o coeficiente binomial
lido “
escolhe
”, que conta o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto com
elementos sem considerar ordem.
Para fixar ideia, a fórmula fechada é
onde
(lê‑se “
fatorial”) é definido por
e por convenção
. Essa fórmula vem do raciocínio: o número de listas ordenadas de
elementos distintos escolhidos de
é
mas cada conjunto escolhido corresponde a
listas ordenadas (as
permutações), por isso dividimos por
.
Passo 5
Exemplo concreto para ficar mais tranquilo: escolha
e
.
- Quais são as funções estritamente crescentes
? São dadas pelas imagens com . As opções são — exatamente possibilidades. - E
. Confere com o exemplo.
Dica para prova: ao ver “funções estritamente crescentes” entre conjuntos de inteiros consecutivos, pense imediatamente em “escolher um subconjunto e ordenar” — isso salva tempo.