Quantos termos possui o desenvolvimento de \left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)^{14}.

Passo 1

O enunciado pede para descobrir quantos termos distintos aparecem ao desenvolver \bigl(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\bigr)^{14}.
Isso é um problema de contagem em multinômios: cada termo é da forma \,x_{1}^{a}x_{2}^{b}x_{3}^{c}x_{4}^{d}
com a+b+c+d=14. Precisamos contar todas as soluções não negativas dessa equação inteira.

Passo 2

O número de soluções não negativas de
a+b+c+d=14
é dado pela combinação com repetição de 4 variáveis, isto é,
\binom{14+4-1}{4-1} = \binom{17}{3}.

Passo 3

Agora calculamos
\binom{17}{3} = \frac{17\cdot16\cdot15}{3\cdot2\cdot1} = \frac{4080}{6} =680.

Resposta

680

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