Determine o coeficiente de x^{17} no desenvolvimento de \left(1+x^{5}+x^{7}\right)^{20}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o coeficiente de x^{17} em \bigl(1 + x^{5} + x^{7}\bigr)^{20}. Isso envolve aplicar o Teorema Multinomial: ao desenvolver \bigl(a+b+c\bigr)^{20}, os termos vêm de escolher quantas vezes usamos cada parcela 1, x^5 e x^7 de modo que o expoente total seja 17.

Passo 2

Seja
a = \text{número de vezes que escolhemos }1,\quad b = \text{vezes que escolhemos }x^{5},\quad c = \text{vezes que escolhemos }x^{7}.ú
Temos as condições
a + b + c = 20, \quad 5b + 7c = 17.
Procurando soluções inteiras não-negativas de 5b + 7c = 17, testamos c=0,1,2,\dots e achamos a única solução
b=2,\quad c=1,
pois 5\cdot2 + 7\cdot1 = 17. Então a = 20 - 2 - 1 = 17.

Passo 3

O coeficiente associado a (a,b,c)=(17,2,1) é o coeficiente multinomial
\frac{20!}{a!\,b!\,c!} = \frac{20!}{17!\,2!\,1!} = \frac{20\cdot19\cdot18}{2\cdot1} =3420.

Resposta

3420

Exercícios relacionados