Quantos termos é preciso tomar nas séries seguintes para ter a soma a menos de
\frac{1}{10^{6}}
\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\ldots+(-1)^{n} \frac{1}{n}+\ldots \quad Resp. n=10^{6}.

Passo 1

O enunciado dá a série
\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\ldots+(-1)^{n}\frac{1}{n}+\ldots
e pede: quantos termos é preciso tomar para que a soma parcial difira da soma verdadeira por menos de \frac{1}{10^{6}}. Informação relevante fornecida: o termo geral em valor absoluto é \frac{1}{n} (com sinal alternado) e a tolerância desejada é \frac{1}{10^{6}}. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Vamos identificar as propriedades dos termos que vamos usar. Denotemos, para n\ge 2,
a_n = \frac{1}{n}
(com sinal alternado +\,-\,+\,-\ldots vindo do fator (-1)^n). Primeiro, note que os números a_n são positivos e estritamente decrescentes: para todo n\ge 2,
a_{n+1}=\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}=a_n.
Isto é óbvio porque ao aumentar o denominador a fração diminui.

Passo 3

Também precisamos que os termos tendam a zero. De fato,
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Portanto temos termos positivos, monótonos decrescentes e que vão a zero — as hipóteses que permitem usar o estimador de erro para séries alternadas.

Passo 4

Teorema prático (explicação simples): para uma série com termos alternados cuja sequência de módulos a_n é decrescente e tende a zero, o erro (resto) R_N ao aproximar a soma por N primeiros termos satisfaz
|R_N|\le a_{N+1}.
Intuição rápida: os somatórios parciais ficam alternadamente acima e abaixo da soma limite, e a diferença entre a soma e um somatório parcial é at most o próximo termo em módulo. Isso é a ferramenta que vamos usar para garantir a precisão na prova.

Passo 5

Aplicando o estimador ao nosso caso, temos
|R_N|\le a_{N+1}=\frac{1}{N+1}.
Queremos que o erro seja menor que \frac{1}{10^{6}}, isto é
\frac{1}{N+1}<\frac{1}{10^{6}}.

Passo 6

Resolver a desigualdade. Invertendo (mantendo o sentido porque todos os termos são positivos) obtemos
N+1>10^{6}.
Como N deve ser um inteiro (número de termos), a menor solução inteira que satisfaz N+1>10^{6} é
N=10^{6}.
(Se tivéssemos permitido erro menor ou igual a \frac{1}{10^{6}} então bastaria N+1\ge 10^{6} e o menor N inteiro seria N=10^{6}-1; mas como o enunciado pede "a menos de \frac{1}{10^{6}}" interpretamos como estritamente menor, levando a N=10^{6}.)

Passo 7

Portanto, tomando N=10^{6} termos a soma parcial difere da soma verdadeira por menos de \frac{1}{10^{6}}. Fica a dica prática para a prova: sempre que for série alternada com termos decrescentes, use o próximo termo como cota do erro — isso evita cálculos pesados.

Resposta

n=10^{6}

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