Quantos termos é preciso tomar nas séries seguintes para ter a soma a menos de
Resp.
.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede: quantos termos é preciso tomar para que a soma parcial difira da soma verdadeira por menos de
. Informação relevante fornecida: o termo geral em valor absoluto é
(com sinal alternado) e a tolerância desejada é
. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Vamos identificar as propriedades dos termos que vamos usar. Denotemos, para
,
(com sinal alternado
vindo do fator
). Primeiro, note que os números
são positivos e estritamente decrescentes: para todo
,
Isto é óbvio porque ao aumentar o denominador a fração diminui.
Passo 3
Também precisamos que os termos tendam a zero. De fato,
Portanto temos termos positivos, monótonos decrescentes e que vão a zero — as hipóteses que permitem usar o estimador de erro para séries alternadas.
Passo 4
Teorema prático (explicação simples): para uma série com termos alternados cuja sequência de módulos
é decrescente e tende a zero, o erro (resto)
ao aproximar a soma por
primeiros termos satisfaz
Intuição rápida: os somatórios parciais ficam alternadamente acima e abaixo da soma limite, e a diferença entre a soma e um somatório parcial é at most o próximo termo em módulo. Isso é a ferramenta que vamos usar para garantir a precisão na prova.
Passo 5
Aplicando o estimador ao nosso caso, temos
Queremos que o erro seja menor que
, isto é
Passo 6
Resolver a desigualdade. Invertendo (mantendo o sentido porque todos os termos são positivos) obtemos
Como
deve ser um inteiro (número de termos), a menor solução inteira que satisfaz
é
(Se tivéssemos permitido erro menor ou igual a
então bastaria
e o menor
inteiro seria
; mas como o enunciado pede "a menos de
" interpretamos como estritamente menor, levando a
.)
Passo 7
Portanto, tomando
termos a soma parcial difere da soma verdadeira por menos de
. Fica a dica prática para a prova: sempre que for série alternada com termos decrescentes, use o próximo termo como cota do erro — isso evita cálculos pesados.