Quantos termos é preciso tomar nas séries seguintes para ter a soma a menos de
\frac{1}{10^{6}}
\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}-\frac{1}{5^{2}}+\ldots+(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}+\ldots \quad Resp. n=10^{3}.

Passo 1

O enunciado dá a série
\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}-\frac{1}{5^{2}}+\ldots+(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}}+\ldots
e pede: quantos termos devemos tomar para que a diferença entre a soma infinita S e a soma parcial S_{n} seja menor que \frac{1}{10^{6}}. Ou seja, queremos o menor inteiro n tal que
|S-S_{n}|<\frac{1}{10^{6}}.

Passo 2

Vamos examinar as magnitudes dos termos e ver se podemos usar um resultado que controla o erro em séries alternadas. Defina a sequência dos módulos dos termos por
a_{k}=\frac{1}{k^{2}},\qquad k\ge 2.
Mostro duas propriedades úteis para a_{k}:
  1. a_{k} é decrescente para k\ge 2. Uma forma simples de ver isso é comparar termos vizinhos:
a_{k+1}=\frac{1}{(k+1)^{2}}<\frac{1}{k^{2}}=a_{k},
porque (k+1)^{2}>k^{2}. Logo os módulos dos termos diminuem.
  1. \lim_{k\to\infty}a_{k}=0, pois 1/k^{2}\to 0 quando k\to\infty.
Essas duas condições (módulos decrescentes que tendem a zero) permitem usar o teorema do resto para séries alternadas (teorema de Leibniz): para uma série alternada com termos de módulo a_{k} decrescentes a zero, o resto após n termos satisfaz
|S-S_{n}|\le a_{n+1}.
Intuição rápida: o erro ao parar numa série alternada está limitado pelo próximo termo em módulo, porque os termos seguintes oscilam e têm magnitude cada vez menor.

Passo 3

Aplicamos a desigualdade do resto ao nosso caso, obtendo
|S-S_{n}|\le \frac{1}{(n+1)^{2}}.
Queremos que esse erro seja estritamente menor que \frac{1}{10^{6}}. Assim exigimos
\frac{1}{(n+1)^{2}}<\frac{1}{10^{6}}.
Agora resolvemos essa desigualdade passo a passo. Como todos os lados são positivos, invertemos e obtemos
(n+1)^{2}>10^{6}.
Tirando raiz quadrada (a raiz principal), dá
n+1>10^{3}.
Logo
n>10^{3}-1=999.
Como n é inteiro, o menor n que satisfaz a desigualdade estrita é n=1000.
Observação sobre igualdade: se o enunciado aceitasse erro menor ou igual a \tfrac{1}{10^{6}} (ou seja \le), então bastaria ter \tfrac{1}{(n+1)^{2}}\le\tfrac{1}{10^{6}}, o que levaria a n\ge 999. Mas como o pedido foi "a menos de \tfrac{1}{10^{6}}" (interpretei como estritamente menor), usamos n=1000. Além disso, verificamos numericamente que para n=1000 o bound é \tfrac{1}{1001^{2}}<\tfrac{1}{10^{6}}, enquanto para n=999 o bound é \tfrac{1}{1000^{2}}=\tfrac{1}{10^{6}} (igual ao limite).

Passo 4

Resumo prático do procedimento para usar na prova:
  1. Identifique que os módulos dos termos são a_{k}=1/k^{2}, que são decrescentes e tendem a zero.
  2. Use o teorema do resto para séries alternadas: |S-S_{n}|\le a_{n+1}.
  3. Impose a_{n+1}<10^{-6}, resolva \frac{1}{(n+1)^{2}}<10^{-6} para obter n>999.
  4. Conclua que o menor inteiro n com essa propriedade é n=1000.

Resposta

n=10^{3}

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