Quantos termos é preciso tomar nas séries seguintes para ter a soma a menos de
Resp.
.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede: quantos termos devemos tomar para que a diferença entre a soma infinita
e a soma parcial
seja menor que
. Ou seja, queremos o menor inteiro
tal que
Passo 2
Vamos examinar as magnitudes dos termos e ver se podemos usar um resultado que controla o erro em séries alternadas. Defina a sequência dos módulos dos termos por
Mostro duas propriedades úteis para
:
-
é decrescente para . Uma forma simples de ver isso é comparar termos vizinhos:
porque
. Logo os módulos dos termos diminuem.
-
, pois quando .
Essas duas condições (módulos decrescentes que tendem a zero) permitem usar o teorema do resto para séries alternadas (teorema de Leibniz): para uma série alternada com termos de módulo
decrescentes a zero, o resto após
termos satisfaz
Intuição rápida: o erro ao parar numa série alternada está limitado pelo próximo termo em módulo, porque os termos seguintes oscilam e têm magnitude cada vez menor.
Passo 3
Aplicamos a desigualdade do resto ao nosso caso, obtendo
Queremos que esse erro seja estritamente menor que
. Assim exigimos
Agora resolvemos essa desigualdade passo a passo. Como todos os lados são positivos, invertemos e obtemos
Tirando raiz quadrada (a raiz principal), dá
Logo
Como
é inteiro, o menor
que satisfaz a desigualdade estrita é
.
Observação sobre igualdade: se o enunciado aceitasse erro menor ou igual a
(ou seja
), então bastaria ter
, o que levaria a
. Mas como o pedido foi "a menos de
" (interpretei como estritamente menor), usamos
. Além disso, verificamos numericamente que para
o bound é
, enquanto para
o bound é
(igual ao limite).
Passo 4
Resumo prático do procedimento para usar na prova:
- Identifique que os módulos dos termos são
, que são decrescentes e tendem a zero. - Use o teorema do resto para séries alternadas:
. - Impose
, resolva para obter . - Conclua que o menor inteiro
com essa propriedade é .