Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas derivadas parciais de ordem três:
Estas são as duas quantidades que precisamos calcular exatamente. Todas as variáveis são
e nenhum outro dado numérico é fornecido.
Passo 2
Antes de derivar, vamos lembrar duas coisas importantes (de forma bem prática):
- Derivada parcial:
significa derivar em relação a mantendo as outras variáveis fixas. - Ordem dos diferenciais: na notação
, o diferencial mais à direita (aqui ) é aplicado primeiro, depois e por fim . Ou seja, compute-se primeiro , depois do resultado, depois .
Passo 3
É útil reescrever
como produto para aplicar regras de derivação com clareza:
Aqui vemos que
e
dependem de variáveis diferentes:
depende só de
, e
depende só de
. Isso torna muitas derivadas simples.
Passo 4
Calcule
. Ao derivar em relação a
tratamos
como constantes. Assim
Explicação:
e
é constante quando derivamos por
.
Passo 5
Agora calcule
, isto é, derive
em relação a
. Usamos a regra da cadeia: se
então
derivado em relação a
é
. Como
,
Passo 6
Agora calcule
derivando o resultado do Passo 5 em relação a
. Temos
. Aplicando a regra da cadeia: se
então
e
. Portanto
Escrito de forma mais clara:
Passo 7
Agora vamos à segunda derivada pedida:
. Pela convenção mencionada (o diferencial da direita é feito primeiro), isto significa primeiro
, depois
, e outra vez
. Começamos calculando
.
Passo 8
Derive
em relação a
. Agora
é constante (pois derivamos por
), usamos a cadeia para
:
Passo 9
Agora aplique
duas vezes sobre o resultado do Passo 8. Primeiro
de
: aqui
é constante ao derivar por
, então
Agora derive novamente por
. O termo
não depende de
, portanto a derivada é zero:
Passo 10
Comentário final rápido e encorajador: note que no Passo 5 obtivemos
e no Passo 9
— elas coincidem como esperado quando as derivadas mistas são contínuas. Você mandou bem por acompanhar cada passo; foco nas regras da cadeia e em lembrar que ao derivar parcialmente tratamos as outras variáveis como constantes.