Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
w=\frac{x}{y+2 z} ;\quad \frac{\partial^{3} w}{\partial z \partial y \partial x}, \quad \frac{\partial^{3} w}{\partial x^{2} \partial y}

Passo 1

O enunciado dá a função
w=\frac{x}{y+2z}
e pede duas derivadas parciais de ordem três:
\frac{\partial^{3} w}{\partial z \partial y \partial x} \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial^{3} w}{\partial x^{2} \partial y}.
Estas são as duas quantidades que precisamos calcular exatamente. Todas as variáveis são x,y,z e nenhum outro dado numérico é fornecido.

Passo 2

Antes de derivar, vamos lembrar duas coisas importantes (de forma bem prática):
  1. Derivada parcial: \frac{\partial f}{\partial x} significa derivar f em relação a x mantendo as outras variáveis fixas.
  2. Ordem dos diferenciais: na notação \frac{\partial^{3}}{\partial z\,\partial y\,\partial x}, o diferencial mais à direita (aqui \partial x) é aplicado primeiro, depois \partial y e por fim \partial z. Ou seja, compute-se primeiro \partial/\partial x, depois \partial/\partial y do resultado, depois \partial/\partial z.

Passo 3

É útil reescrever w como produto para aplicar regras de derivação com clareza:
w = x\,(y+2z)^{-1}.
Aqui vemos que x e (y+2z)^{-1} dependem de variáveis diferentes: x depende só de x, e (y+2z)^{-1} depende só de y,z. Isso torna muitas derivadas simples.

Passo 4

Calcule \displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}. Ao derivar em relação a x tratamos y,z como constantes. Assim
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,(y+2z)^{-1}\bigr)=(y+2z)^{-1}\cdot\frac{\partial x}{\partial x}=(y+2z)^{-1}.
Explicação: \frac{\partial x}{\partial x}=1 e (y+2z)^{-1} é constante quando derivamos por x.

Passo 5

Agora calcule \displaystyle \frac{\partial^{2} w}{\partial y\partial x}, isto é, derive \frac{\partial w}{\partial x}=(y+2z)^{-1} em relação a y. Usamos a regra da cadeia: se u=y+2z então u^{-1} derivado em relação a y é -1\cdot u^{-2}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}. Como \frac{\partial u}{\partial y}=1,
\frac{\partial^{2} w}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl((y+2z)^{-1}\bigr)=- (y+2z)^{-2}.

Passo 6

Agora calcule \displaystyle \frac{\partial^{3} w}{\partial z \partial y \partial x} derivando o resultado do Passo 5 em relação a z. Temos - (y+2z)^{-2}. Aplicando a regra da cadeia: se u=y+2z então \frac{d}{dz}u^{-2}=-2u^{-3}\cdot \frac{du}{dz} e \frac{du}{dz}=2. Portanto
\frac{\partial^{3} w}{\partial z \partial y \partial x} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(- (y+2z)^{-2}\bigr) = -\bigl(-2 (y+2z)^{-3}\bigr)\cdot 2 =4 (y+2z)^{-3}.
Escrito de forma mais clara:
\frac{\partial^{3} w}{\partial z \partial y \partial x}=\frac{4}{(y+2z)^{3}}.

Passo 7

Agora vamos à segunda derivada pedida: \displaystyle \frac{\partial^{3} w}{\partial x^{2}\partial y}. Pela convenção mencionada (o diferencial da direita é feito primeiro), isto significa primeiro \partial/\partial y, depois \partial/\partial x, e outra vez \partial/\partial x. Começamos calculando \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}.

Passo 8

Derive w=x (y+2z)^{-1} em relação a y. Agora x é constante (pois derivamos por y), usamos a cadeia para (y+2z)^{-1}:
\frac{\partial w}{\partial y}=x\cdot \frac{\partial}{\partial y}\bigl((y+2z)^{-1}\bigr) = x\cdot\bigl(- (y+2z)^{-2}\bigr) = -\frac{x}{(y+2z)^{2}}.

Passo 9

Agora aplique \partial/\partial x duas vezes sobre o resultado do Passo 8. Primeiro \partial/\partial x de -\dfrac{x}{(y+2z)^{2}}: aqui (y+2z)^{2} é constante ao derivar por x, então
\frac{\partial^{2} w}{\partial x\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\frac{x}{(y+2z)^{2}}\Bigr) =-\frac{1}{(y+2z)^{2}}.
Agora derive novamente por x. O termo -\dfrac{1}{(y+2z)^{2}} não depende de x, portanto a derivada é zero:
\frac{\partial^{3} w}{\partial x^{2}\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\frac{1}{(y+2z)^{2}}\Bigr)=0.

Passo 10

Comentário final rápido e encorajador: note que no Passo 5 obtivemos \dfrac{\partial^{2} w}{\partial y\partial x}=- (y+2z)^{-2} e no Passo 9 \dfrac{\partial^{2} w}{\partial x\partial y}=- (y+2z)^{-2} — elas coincidem como esperado quando as derivadas mistas são contínuas. Você mandou bem por acompanhar cada passo; foco nas regras da cadeia e em lembrar que ao derivar parcialmente tratamos as outras variáveis como constantes.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{3} w}{\partial z \partial y \partial x}=\frac{4}{(y+2z)^{3}}
\displaystyle \frac{\partial^{3} w}{\partial x^{2} \partial y}=0

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