Quantos termos da série \sum_{n=2}^{\infty} 1 /\left[n(\ln n)^{2}\right] você precisaria somar para encontrar sua soma com precisão de 0,01 ?

Passo 1

O enunciado pede quantos termos da série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}
precisamos somar para que o erro de truncamento (resto) seja menor que 0,01. O conteúdo aqui é o teste da integral para estimar o resto de uma série de termos positivos e decrescentes.

Passo 2

Definimos
R_{N}=\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}
e comparamos com a integral de f(x)=1/[x(\ln x)^{2}]. Como f(x) é positiva e decrescente para x\ge2, valem as estimativas
\int_{N+1}^{\infty}f(x)\,dx \le R_{N} \le \int_{N}^{\infty}f(x)\,dx.

Passo 3

Calculamos a integral superior:
\int_{N}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}} =\left[-\frac{1}{\ln x}\right]_{N}^{\infty} =\frac{1}{\ln N}.
Logo
R_{N}\le\frac{1}{\ln N}.

Passo 4

Exigimos que o resto seja menor que 0,01:
\frac{1}{\ln N}<0,01 \quad\Longrightarrow\quad \ln N>100 \quad\Longrightarrow\quad N>e^{100}.

Resposta

É necessário tomar
N>e^{100}\approx2{,}7\times10^{43}
termos para garantir erro menor que 0,01.

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