Quantos termos da série \sum_{n=2}^{\infty} 1 /\left[n(\ln n)^{2}\right] você precisaria somar para encontrar sua soma com precisão de 0,01 ?

Passo 1

O enunciado pede para determinar quantos termos de
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}
é preciso somar para que a soma parcial difira da soma total em menos de 0,01.
O conteúdo principal aqui é o Teste da Integral para estimar o resto de uma série de termos positivos decrescentes.

Passo 2

Pelo Teste da Integral, para f(x)=1/[x(\ln x)^{2}] contínua, positiva e decrescente em [N,\infty), o resto
R_N = \sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}
satisfaz
R_N \le \int_{N}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}.
Fazendo a mudança de variável u=\ln x, temos du=dx/x e
\int_{N}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}} =\int_{\ln N}^{\infty}\frac{du}{u^{2}} =\left[-\frac{1}{u}\right]_{\ln N}^{\infty} =\frac{1}{\ln N}.

Passo 3

Queremos R_N<0,01. Pelo majorante, basta garantir
\frac{1}{\ln N}<0,01 \quad\Longrightarrow\quad \ln N>100 \quad\Longrightarrow\quad N>e^{100}.
Portanto, o número de termos necessário é o menor inteiro N tal que N>e^{100}.

Resposta

É necessário somar da ordem de \lceil e^{100}\rceil\approx3{,}7\times10^{43}
termos para obter precisão de 0,01.

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