Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x/2}+C_{2}e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar.
Passo 3
Explicação didática do método dos coeficientes a determinar (passo aplicado aqui):
Se o termo da direita é soma de funções, podemos buscar uma solução particular y_{p} como soma das soluções particulares correspondentes a cada parcela.
Para uma constante (termo 1) tentamos uma constante C.
Para um termo do tipo P(x)e^{\alpha x}, onde P(x) é polinômio, a tentativa padrão é um polinômio da mesma ordem vezes e^{\alpha x}. Porém, se e^{\alpha x} é solução da homogênea (ou seja, \alpha é raiz da equação característica) devemos multiplicar a tentativa por x^{s}, onde s é a multiplicidade de \alpha como raiz.
Aqui temos a parcela -3x e^{-2x}: é da forma P(x)e^{-2x} com P(x) de grau 1. Como \alpha=-2 é raiz simples da característica (multiplicidade s=1), devemos multiplicar por x^{1}. Assim a forma tentativa para essa parcela será (a x^{2}+b x)e^{-2x} (polinômio de grau 1 vezes outro x dá grau 2 efetivo como escrita conveniente).
Portanto tomamos a solução particular da forma soma:
y_{p}(x)=C+\bigl(a x^{2}+b x\bigr)e^{-2x},
com constantes C,a,b a determinar.
Passo 4
Determinar a constante C (parte referente ao termo constante 1).
Substituindo y=C na equação:
Queremos que essa expressão seja igual à parte da forçante correspondente: -3x e^{-2x}. Igualando coeficientes dos termos em x e^{-2x} e e^{-2x} obtemos o sistema:
Para u(x)=\bigl(\tfrac{3}{10}x^{2}+\tfrac{6}{25}x\bigr)e^{-2x} usamos a fórmula já citada u'=(p'-2p)e^{-2x}. Aqui p(x)=\tfrac{3}{10}x^{2}+\tfrac{6}{25}x, então p'(x)=\tfrac{6}{10}x+\tfrac{6}{25}=\tfrac{3}{5}x+\tfrac{6}{25}.
Logo
Não é necessário simplificar totalmente para avaliar em x=0; basta saber que em x=0 o valor de u' é p'(0)e^{0}=\tfrac{6}{25} (porque os termos com x anulam).
Multiplique a segunda equação por 2\]:
\[C_{1}-4C_{2}=-\dfrac{12}{25}.\]
Subtraindo esta da primeira (ou resolvendo por eliminação): da primeira \(C_{1}=\dfrac{1}{2}-C_{2}. Substituindo: