Segunda Questão(3,0 pontos): Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução do PVI
2 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-2 y=1-3 x e^{-2 x}, \quad y(0)=0=y^{\prime}(0)

Passo 1

O problema pede resolver o problema de valor inicial (PVI)
2y''+3y'-2y=1-3x e^{-2x},\qquad y(0)=0,\\ y'(0)=0.
Informações fornecidas:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • A parte direita (forçante) é a soma de duas funções: uma constante 1 e uma função da forma -3x e^{-2x}.
  • Precisamos encontrar a solução geral da equação e então determinar as constantes usando as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0.

Passo 2

Encontrar a solução da equação homogênea associada:
2y''+3y'-2y=0.
Usa-se a substituição y=e^{rx}. Substituindo, obtemos a equação característica
2r^{2}+3r-2=0.
Resolver a quadrática: o discriminante é \Delta=3^{2}-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25. Assim
r=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2\cdot2}=\frac{-3\pm5}{4}.
Logo as raízes são
r_{1}=\frac{1}{2},\qquad r_{2}=-2.
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x/2}+C_{2}e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar.

Passo 3

Explicação didática do método dos coeficientes a determinar (passo aplicado aqui):
  • Se o termo da direita é soma de funções, podemos buscar uma solução particular y_{p} como soma das soluções particulares correspondentes a cada parcela.
  • Para uma constante (termo 1) tentamos uma constante C.
  • Para um termo do tipo P(x)e^{\alpha x}, onde P(x) é polinômio, a tentativa padrão é um polinômio da mesma ordem vezes e^{\alpha x}. Porém, se e^{\alpha x} é solução da homogênea (ou seja, \alpha é raiz da equação característica) devemos multiplicar a tentativa por x^{s}, onde s é a multiplicidade de \alpha como raiz.
  • Aqui temos a parcela -3x e^{-2x}: é da forma P(x)e^{-2x} com P(x) de grau 1. Como \alpha=-2 é raiz simples da característica (multiplicidade s=1), devemos multiplicar por x^{1}. Assim a forma tentativa para essa parcela será (a x^{2}+b x)e^{-2x} (polinômio de grau 1 vezes outro x dá grau 2 efetivo como escrita conveniente).
  • Portanto tomamos a solução particular da forma soma:
y_{p}(x)=C+\bigl(a x^{2}+b x\bigr)e^{-2x},
com constantes C,a,b a determinar.

Passo 4

Determinar a constante C (parte referente ao termo constante 1).
Substituindo y=C na equação:
2\cdot 0 + 3\cdot 0 -2C = 1 \quad\Rightarrow\quad -2C=1.
Logo
C=-\frac{1}{2}.

Passo 5

Determinar a e b para a parte (a x^{2}+b x)e^{-2x}.
Defina p(x)=a x^{2}+b x e u(x)=p(x)e^{-2x}. Calculamos derivadas de forma organizada:
p'(x)=2a x + b,\qquad p''(x)=2a.
Usando a regra do produto com e^{-2x} já simplificada:
u'(x)=(p'(x)-2p(x))e^{-2x},
u''(x)=(p''(x)-4p'(x)+4p(x))e^{-2x}.
Agora aplicamos o operador linear L[y]=2y''+3y'-2y sobre u:
L[u]=2u''+3u'-2u.
Substituindo as expressões anteriores:
L[u]=\bigl(2p''-8p'+8p\bigr)e^{-2x}+\bigl(3p'-6p\bigr)e^{-2x}-2p e^{-2x}.
Agrupando termos semelhantes em p,p',p'':
L[u]=\bigl(2p''-5p'+(8-6-2)p\bigr)e^{-2x}=\bigl(2p''-5p'\bigr)e^{-2x},
pois os coeficientes de p cancelam (observe a simplificação: 8-6-2=0).

Passo 6

Substituir p,p',p'' explícitos:
p(x)=a x^{2}+b x,\qquad p'(x)=2a x + b,\qquad p''(x)=2a.
Então
2p''-5p' = 2(2a)-5(2a x + b)=4a -10a x -5b = (-10a)x + (4a-5b).
Portanto
L\bigl((a x^{2}+b x)e^{-2x}\bigr)=\bigl((-10a)x + (4a-5b)\bigr)e^{-2x}.
Queremos que essa expressão seja igual à parte da forçante correspondente: -3x e^{-2x}. Igualando coeficientes dos termos em x e^{-2x} e e^{-2x} obtemos o sistema:
-10a=-3,\qquad 4a-5b=0.
Da primeira equação:
a=\frac{3}{10}.
Da segunda:
b=\frac{4a}{5}=\frac{4\cdot(3/10)}{5}=\frac{12}{50}=\frac{6}{25}.

Passo 7

Construir a solução geral somando homogênea e particular:
y(x)=C_{1}e^{x/2}+C_{2}e^{-2x}-\frac{1}{2}+\Bigl(\frac{3}{10}x^{2}+\frac{6}{25}x\Bigr)e^{-2x}.
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar [C_{1},C_{2}).
Calcule y(0):
y(0)=C_{1}+C_{2}-\frac{1}{2}+0=0 \quad\Rightarrow\quad C_{1}+C_{2}=\frac{1}{2}.
Calcule y'(x). Derivando termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(C_{1}e^{x/2}\bigr)=\dfrac{C_{1}}{2}e^{x/2}.
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(C_{2}e^{-2x}\bigr)=-2C_{2}e^{-2x}.
  • O termo constante -\tfrac{1}{2} some.
  • Para u(x)=\bigl(\tfrac{3}{10}x^{2}+\tfrac{6}{25}x\bigr)e^{-2x} usamos a fórmula já citada u'=(p'-2p)e^{-2x}. Aqui p(x)=\tfrac{3}{10}x^{2}+\tfrac{6}{25}x, então p'(x)=\tfrac{6}{10}x+\tfrac{6}{25}=\tfrac{3}{5}x+\tfrac{6}{25}.
    Logo
u'(x)=\bigl(p'(x)-2p(x)\bigr)e^{-2x}=\bigl(-2\cdot\tfrac{3}{10}x^{2}+( \tfrac{6}{10}-2\cdot\tfrac{6}{25})x+\tfrac{6}{25}\bigr)e^{-2x}.
Não é necessário simplificar totalmente para avaliar em x=0; basta saber que em x=0 o valor de u' é p'(0)e^{0}=\tfrac{6}{25} (porque os termos com x anulam).
Agora y'(0) é:
y'(0)=\frac{C_{1}}{2}-2C_{2}+\frac{6}{25}=0.
Assim obtemos o sistema linear
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=\dfrac{1}{2},\\[6pt] \dfrac{C_{1}}{2}-2C_{2}=-\dfrac{6}{25}. \end{cases}
Multiplique a segunda equação por 2\]: \[C_{1}-4C_{2}=-\dfrac{12}{25}.\] Subtraindo esta da primeira (ou resolvendo por eliminação): da primeira \(C_{1}=\dfrac{1}{2}-C_{2}. Substituindo:
\Bigl(\dfrac{1}{2}-C_{2}\Bigr)-4C_{2}=-\dfrac{12}{25}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{1}{2}-5C_{2}=-\dfrac{12}{25}.
Isolando C_{2}:
-5C_{2}=-\dfrac{12}{25}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{24}{50}-\dfrac{25}{50}=-\dfrac{49}{50},
C_{2}=\frac{49}{250}.
Então
C_{1}=\frac{1}{2}-C_{2}=\frac{125}{250}-\frac{49}{250}=\frac{76}{250}=\frac{38}{125}.]

Passo 8

Escrever a solução final com as constantes encontradas:
y(x)=\frac{38}{125}e^{x/2}+\frac{49}{250}e^{-2x}-\frac{1}{2}+\Bigl(\frac{3}{10}x^{2}+\frac{6}{25}x\Bigr)e^{-2x}.
Pode-se também agrupar os termos em e^{-2x} se preferir:
y(x)=\frac{38}{125}e^{x/2}-\frac{1}{2}+e^{-2x}\Bigl(\frac{49}{250}+\frac{3}{10}x^{2}+\frac{6}{25}x\Bigr).

Resposta

y(x)=\frac{38}{125}e^{x/2}+\frac{49}{250}e^{-2x}-\frac{1}{2}+\Bigl(\frac{3}{10}x^{2}+\frac{6}{25}x\Bigr)e^{-2x}.

Exercícios relacionados