Quarta Questão (
pts): Seja
a curva que consiste de dois trechos, sendo o primeiro o segmento de reta que parte do ponto
e termina no ponto
; e o segundo a curva com parametrização
O campo vetorial
é o gradiente da função
. Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde:
- A curva
é composta de dois trechos: - Trecho 1: segmento de reta do ponto
até . - Trecho 2: curva parametrizada por
, com .
- Trecho 1: segmento de reta do ponto
- O campo vetorial
é o gradiente da função .
O que se quer calcular é a integral de linha deao longo de .
Passo 2
Primeiro vamos escrever explicitamente o potencial
e verificar como obter o gradiente. A função dada é
O gradiente é definido por
. Vou calcular cada derivada parcial (isso também mostra a que vetor
corresponde).
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais de
.
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
(pois
multiplica
, derivando em
fica
).
- Derivada parcial em relação a
:
Portanto
que é exatamente o campo
indicado (confirmando que
é conservativo com potencial
).
Passo 4
Teorema fundamental para campos conservativos (Teorema do gradiente): se
é contínuo num conjunto e
é uma curva suave de
a
, então
Isto é muito útil: a integral depende só dos pontos inicial e final do trecho, não do caminho entre eles. Como nossa curva
tem dois trechos, aplicamos o teorema em cada trecho e somamos os resultados.
Passo 5
Vamos separar a integral sobre
em soma das integrais sobre os dois trechos:
Pelo teorema do gradiente:
onde
e
.
E para o trecho 2, como a parametrização vai de a
, o ponto inicial é
e o final é
, então
E para o trecho 2, como a parametrização vai de
Passo 6
Calcular as coordenadas dos extremos:
-
Dados do trecho 1:
e (fornecidos no enunciado). -
Para o trecho 2, calcular
e . -
Passo 7
Agora avaliar
nos quatro pontos
.
- Em
: , então
- Em
: , então
- Em
: , então
- Em
: , então
Passo 8
Somando as contribuições dos dois trechos:
Agrupando termos: