Quarta Questão ( \mathbf{2 , 0} pts): Seja C a curva que consiste de dois trechos, sendo o primeiro o segmento de reta que parte do ponto (0,3,-1) e termina no ponto (3,2,1); e o segundo a curva com parametrização
\vec{r}(t)=\left\langle t^{3}-2 t, t^{2}+1, t^{2}-1\right\rangle, \quad 0 \leq t \leq 2
O campo vetorial \vec{F} é o gradiente da função y e^{x z}. Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}, onde:
  • A curva C é composta de dois trechos:
    • Trecho 1: segmento de reta do ponto A=(0,3,-1) até B=(3,2,1).
    • Trecho 2: curva parametrizada por \displaystyle \vec{r}(t)=\langle t^{3}-2t,\;t^{2}+1,\;t^{2}-1\rangle, com 0\le t\le 2.
  • O campo vetorial \vec{F} é o gradiente da função f(x,y,z)=y e^{x z}.
    O que se quer calcular é a integral de linha de \vec{F} ao longo de C.

Passo 2

Primeiro vamos escrever explicitamente o potencial f e verificar como obter o gradiente. A função dada é
f(x,y,z)=y e^{x z}.
O gradiente é definido por \nabla f = \big(\partial f/\partial x,\; \partial f/\partial y,\; \partial f/\partial z\big). Vou calcular cada derivada parcial (isso também mostra a que vetor \vec{F} corresponde).

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais de f(x,y,z)=y e^{x z}.
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} = y\cdot \frac{d}{dx}\big(e^{xz}\big) = y\cdot z e^{xz} = y z e^{xz}.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{xz}
(pois y multiplica e^{xz}, derivando em y fica e^{xz}).
  • Derivada parcial em relação a z:
\frac{\partial f}{\partial z} = y\cdot \frac{d}{dz}\big(e^{xz}\big) = y\cdot x e^{xz} = x y e^{xz}.
Portanto
\nabla f(x,y,z)=\big(y z e^{xz},\; e^{xz},\; x y e^{xz}\big),
que é exatamente o campo \vec{F} indicado (confirmando que \vec{F} é conservativo com potencial f).

Passo 4

Teorema fundamental para campos conservativos (Teorema do gradiente): se \vec{F}=\nabla f é contínuo num conjunto e \gamma é uma curva suave de P a Q, então
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(Q)-f(P).
Isto é muito útil: a integral depende só dos pontos inicial e final do trecho, não do caminho entre eles. Como nossa curva C tem dois trechos, aplicamos o teorema em cada trecho e somamos os resultados.

Passo 5

Vamos separar a integral sobre C em soma das integrais sobre os dois trechos:
\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} =\int_{\text{trecho 1}}\vec{F}\cdot d\vec{r} +\int_{\text{trecho 2}}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Pelo teorema do gradiente:
\int_{\text{trecho 1}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(B)-f(A),
onde A=(0,3,-1) e B=(3,2,1).
E para o trecho 2, como a parametrização vai de t=0 a t=2, o ponto inicial é \vec{r}(0) e o final é \vec{r}(2), então
\int_{\text{trecho 2}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=f\big(\vec{r}(2)\big)-f\big(\vec{r}(0)\big).

Passo 6

Calcular as coordenadas dos extremos:
  • Dados do trecho 1: A=(0,3,-1) e B=(3,2,1) (fornecidos no enunciado).
  • Para o trecho 2, calcular \vec{r}(0) e \vec{r}(2).
    • \displaystyle \vec{r}(0)=\langle 0^{3}-2\cdot0,\;0^{2}+1,\;0^{2}-1\rangle=\langle 0,\;1,\;-1\rangle.
    • \displaystyle \vec{r}(2)=\langle 2^{3}-2\cdot2,\;2^{2}+1,\;2^{2}-1\rangle=\langle 8-4,\;4+1,\;4-1\rangle=\langle 4,\;5,\;3\rangle.

Passo 7

Agora avaliar f(x,y,z)=y e^{xz} nos quatro pontos A,B,\vec{r}(0),\vec{r}(2).
  • Em A=(0,3,-1): \displaystyle x z = 0\cdot(-1)=0, então
f(A)=3 e^{0}=3.
  • Em B=(3,2,1): \displaystyle x z = 3\cdot1=3, então
f(B)=2 e^{3}.
  • Em \vec{r}(0)=(0,1,-1): \displaystyle x z = 0\cdot(-1)=0, então
f\big(\vec{r}(0)\big)=1\cdot e^{0}=1.
  • Em \vec{r}(2)=(4,5,3): \displaystyle x z = 4\cdot3=12, então
f\big(\vec{r}(2)\big)=5 e^{12}.

Passo 8

Somando as contribuições dos dois trechos:
\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \big[f(B)-f(A)\big] + \big[f(\vec{r}(2)) - f(\vec{r}(0))\big] = \big(2 e^{3} - 3\big) + \big(5 e^{12} - 1\big).
Agrupando termos:
\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = 2 e^{3} + 5 e^{12} - 4.

Resposta

2 e^{3} + 5 e^{12} - 4

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