Um quasar muito distante tem um redshift z=7,085. Qual é o comprimento de onda das linhas Lyman Lyo \left(\lambda_{L y \alpha}=1216 \AA\right) e Balmer \mathrm{H} \alpha\left(\lambda_{H \alpha}=6563 \AA\right) observadas nestes objetos? Se o detector seleciona radiação somente no intervalo de 4000 \AA a 5000 \AA, qual é a região do espectro eletromagnético da radiação emitida pelo quasar? Qual a consequência para a visibilidade do quasar?

Passo 1

O enunciado dá um quasar com redshift z=7{,}085 e pede três coisas:
  1. Qual o comprimento de onda observado das linhas Lyman \mathrm{Ly}\alpha com \lambda_{Ly\alpha}=1216\\ \AA e Balmer \mathrm{H}\alpha com \lambda_{H\alpha}=6563\\ \AA.
  2. Se um detector aceita apenas radiação observada no intervalo 4000\\ \AA a 5000\\ \AA, qual é a região do espectro eletromagnético da radiação que foi emitida pelo quasar (isto é, qual é o comprimento de onda no referencial de emissão correspondente a esse intervalo observado).
  3. Qual a consequência disso para a visibilidade do quasar nesse detector.
Informações relevantes do enunciado (que vou usar nas contas):
  • z=7{,}085.
  • \lambda_{Ly\alpha}^{\text{emit}}=1216\\ \AA.
  • \lambda_{H\alpha}^{\text{emit}}=6563\\ \AA.
  • Intervalo do detector (observado): 4000\\ \AA a 5000\\ \AA.

Passo 2

Fórmula básica do redshift e explicação didática:
A relação entre comprimento de onda observado \lambda_{\text{obs}} e comprimento de onda emitido \lambda_{\text{emit}} é
\lambda_{\text{obs}}=\lambda_{\text{emit}}\,(1+z).
O que cada termo significa:
  • \lambda_{\text{emit}} é o comprimento de onda no referencial da fonte (o quasar).
  • z é o redshift — mede quanto o universo expandiu desde que o fóton foi emitido.
  • 1+z é o fator de dilatação do comprimento de onda: tudo é esticado por esse fator enquanto viaja até nós.
    Portanto, para achar o comprimento de onda que vamos medir (o observado), multiplicamos o comprimento emitido por 1+z. Para achar o comprimento de onda emitido correspondente a um comprimento observado, dividimos por 1+z:
\lambda_{\text{emit}}=\frac{\lambda_{\text{obs}}}{1+z}.

Passo 3

Calcular o fator 1+z:
1+z = 1 + 7{,}085 = 8{,}085.
Agora aplicamos a fórmula para cada linha.
Cálculo para \mathrm{Ly}\alpha:
\lambda_{\text{obs}}(\mathrm{Ly}\alpha)=\lambda_{Ly\alpha}\,(1+z)=1216\\ \AA \times 8{,}085.
Faço a multiplicação (detalhe das contas):
1216 \times 8 = 9728,\qquad 1216 \times 0{,}085 = 103{,}36,
então
\lambda_{\text{obs}}(\mathrm{Ly}\alpha)=9728 + 103{,}36 = 9831{,}36\\ \AA.
Converto para unidades mais usuais:
9831{,}36\\ \AA = 983{,}136\\ \text{nm}\approx 983{,}1\\ \text{nm},
ou seja, na região do infravermelho próximo (near-infrared, NIR).
Cálculo para \mathrm{H}\alpha:
\lambda_{\text{obs}}(\mathrm{H}\alpha)=\lambda_{H\alpha}\,(1+z)=6563\\ \AA \times 8{,}085.
Detalhe:
6563 \times 8 = 52504,\qquad 6563 \times 0{,}085 = 557{,}855,
então
\lambda_{\text{obs}}(\mathrm{H}\alpha)=52504 + 557{,}855 = 53061{,}855\\ \AA.
Converto:
53061{,}855\\ \AA = 5306{,}1855\\ \text{nm} \approx 5{,}306\\ \mu\text{m},
ou seja, na região do infravermelho médio (mid-infrared).

Passo 4

Agora determino qual é a região do espectro emitido correspondente ao intervalo que o detector vê ( 4000\\ \AA a 5000\\ \AA observado). Uso a fórmula inversa:
\lambda_{\text{emit}}=\frac{\lambda_{\text{obs}}}{1+z}=\frac{\lambda_{\text{obs}}}{8{,}085}.
Para o limite inferior observado 4000\\ \AA:
\lambda_{\text{emit,\,min}}=\frac{4000\\ \AA}{8{,}085}\approx 494{,}8\\ \AA.
Conversão:
494{,}8\\ \AA = 49{,}48\\ \text{nm}.
Para o limite superior observado 5000\\ \AA:
\lambda_{\text{emit,\,max}}=\frac{5000\\ \AA}{8{,}085}\approx 618{,}5\\ \AA.
Conversão:
618{,}5\\ \AA = 61{,}85\\ \text{nm}.
Portanto, o detector que vê 4000\text{–}5000\\ \AA está, no referencial da fonte, observando fótons com comprimentos de onda aproximadamente entre \,494{,}8\\ \AA e \,618{,}5\\ \AA, ou entre \,49{,}5\\ \text{nm} e \,61{,}9\\ \text{nm}.

Passo 5

Classificação da região espectral (explicada devagar):
  • Intervalos típicos (valores aproximados):
    • Visível: \sim 380\\ \text{nm} a \sim 750\\ \text{nm} (ou \sim 3800\\ \AA a \sim 7500\\ \AA).
    • Ultravioleta (UV): divide-se em Near-UV, Far-UV, Extreme-UV (EUV). A faixa EUV costuma ser tomada aproximadamente como \sim 10\\ \text{nm} a \sim 121\\ \text{nm} (isto é, \sim 100\\ \AA a \sim 1210\\ \AA).
  • Os comprimentos de onda emitidos que achamos, \sim 49{,}5\\ \text{nm} a \sim 61{,}9\\ \text{nm} (ou \sim 495\\ \AA a \sim 619\\ \AA), caem na faixa do Extreme-UV (EUV).
    Observação importante sobre absorção pelo hidrogênio:
  • O limite de Lyman (o comprimento abaixo do qual fótons têm energia suficiente para ionizar o átomo de hidrogênio) é \lambda_{Lyman\\ limit}=912\\ \AA (ou 91{,}2\\ \text{nm}). Todo fóton com \lambda_{\text{emit}}<912\\ \AA (isto é, mais energético) pode ionizar H I e é fortemente absorvido por nuvens de hidrogênio neutro ao longo da linha de visão.
  • Nosso intervalo emitido calculado ( \sim 495\\ \AA a \sim 619\\ \AA) é bem menor que 912\\ \AA, portanto esses fótons são acima da energia de ionização do hidrogênio e são muito susceptíveis à absorção intergaláctica.

Passo 6

Consequência para a visibilidade do quasar (explicação detalhada e didática):
  1. As linhas fortes que gostaríamos de ver ( \mathrm{Ly}\alpha e \mathrm{H}\alpha) aparecem, no observado, em comprimentos de onda muito diferentes do intervalo 4000\text{–}5000\\ \AA:
    • \lambda_{\text{obs}}(\mathrm{Ly}\alpha)\approx 9831{,}36\\ \AA (infravermelho próximo).
    • \lambda_{\text{obs}}(\mathrm{H}\alpha)\approx 53061{,}855\\ \AA ( \sim 5{,}3\\ \mu\text{m}, infravermelho médio).
      Logo, essas linhas não cairão dentro do filtro do detector 4000\text{–}5000\\ \AA.
  2. O detector 4000\text{–}5000\\ \AA vê fótons que, na emissão, estavam na faixa EUV ( \sim 49{,}5 \sim 61{,}9\\ \text{nm}), ou seja, com energia suficiente para ionizar hidrogênio. O universo primordial e o meio intergaláctico contêm hidrogênio neutro suficiente para absorver fortemente esses fótons. Resultado: grande parte — ou praticamente toda — da radiação nessa faixa emitida pelo quasar será absorvida antes de chegar até nós. Isso produz o chamado efeito de “Gunn–Peterson trough” (hiperabsorção azulward de Lyman \alpha) e completa atenuação abaixo do limite de Lyman.
  3. Consequência prática: O quasar será essencialmente invisível para um detector que só aceite 4000\text{–}5000\\ \AA: as linhas de interesse estão deslocadas para o infravermelho (fora do filtro) e o corredor que esse filtro cobre, na emissão, corresponde a EUV que foi quase totalmente absorvida pelo gás intergaláctico. Além disso, a atmosfera terrestre é opaca ao EUV e a muitos comprimentos de onda no infravermelho médio, de modo que observações requerem instrumentos apropriados (telescópios espaciais e detectores infravermelhos).
  4. Em termos práticos para observadores: para detectar ou estudar esse quasar é necessário observar em comprimentos de onda infravermelhos (por exemplo, \sim 1\\ \mu\text{m} para \mathrm{Ly}\alpha e vários \mu\text{m} para \mathrm{H}\alpha) e preferencialmente com instrumentos que funcionem no espaço ou com capacidade de infravermelho (ex.: espectrógrafos NIR em grandes telescópios ou telescópios espaciais como o JWST).

Resposta

\lambda_{\text{obs}}(\mathrm{Ly}\alpha)=1216\\ \AA\times(1+7{,}085)=9831{,}36\\ \AA (≈ 983{,}1\\ \text{nm}, infravermelho próximo).
\lambda_{\text{obs}}(\mathrm{H}\alpha)=6563\\ \AA\times(1+7{,}085)=53061{,}855\\ \AA (≈ 5306{,}2\\ \text{nm}=5{,}306\\ \mu\text{m}, infravermelho médio).
O detector 4000\text{–}5000\\ \AA corresponde, no referencial da emissão, a \lambda_{\text{emit}}\approx 494{,}8\\ \AA a 618{,}5\\ \AA (isto é, ≈ 49{,}5\\ \text{nm} a 61{,}9\\ \text{nm}), região Extreme-UV (EUV).
Consequência para visibilidade: o quasar ficará praticamente indetectável por esse detector — as linhas fortes estão deslocadas para o infravermelho (fora da banda) e os fótons correspondentes ao intervalo 4000\text{–}5000\\ \AA observados foram emitidos em EUV (abaixo do limite de Lyman) e são fortemente absorvidos pelo hidrogênio intergaláctico (além de a atmosfera terrestre bloquear EUV), portanto quase nenhum fluxo chega ao detector.

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