Quase todas as empresas que atuam no varejo têm mais produtos do que espaço para vendê-los. Esse problema é característico de supermercados, lojas de departamentos e até mesmo empresas de comércio eletrônico. Nessas empresas, a administração precisa decidir que produtos vender dado um espaço disponível, de modo que sua lucratividade seja máxima. Suponha que o supermercado tenha 20 itens que ele pode disponibilizar em suas prateleiras, conforme a tabela a seguir:
Item
Demanda entre reabastecimentos
Lucro (R$/unidade)
Área (cm2/unidade)
1
50
2
65
2
35
2
45
3
25
3
58
4
20
4
71
5
45
4
71
6
50
6
77
7
45
5
90
8
40
5
90
9
30
6
65
10
50
4
52
11
35
2
90
12
50
6
52
13
20
5
71
14
25
3
77
15
30
4
58
16
20
2
45
17
60
2
65
18
35
1
103
19
25
5
71
20
45
4
97
Se todos os itens fosse colocados à venda, seriam necessários
de área de prateleira. O supermercado dispõe apenas de
para alocar todos os itens a serem vendidos. Formule o programa linear para maximizar o lucro total do supermercado.
| Item | Demanda entre reabastecimentos | Lucro (R$/unidade) | Área (cm2/unidade) |
| 1 | 50 | 2 | 65 |
| 2 | 35 | 2 | 45 |
| 3 | 25 | 3 | 58 |
| 4 | 20 | 4 | 71 |
| 5 | 45 | 4 | 71 |
| 6 | 50 | 6 | 77 |
| 7 | 45 | 5 | 90 |
| 8 | 40 | 5 | 90 |
| 9 | 30 | 6 | 65 |
| 10 | 50 | 4 | 52 |
| 11 | 35 | 2 | 90 |
| 12 | 50 | 6 | 52 |
| 13 | 20 | 5 | 71 |
| 14 | 25 | 3 | 77 |
| 15 | 30 | 4 | 58 |
| 16 | 20 | 2 | 45 |
| 17 | 60 | 2 | 65 |
| 18 | 35 | 1 | 103 |
| 19 | 25 | 5 | 71 |
| 20 | 45 | 4 | 97 |
Passo 1
O enunciado pede que seja formulado um programa linear para maximizar o lucro total do supermercado, dado espaço limitado de prateleira. As perguntas implícitas são:
- Qual é a variável de decisão que representa o que devemos escolher?
- Qual é a função objetivo (o lucro a ser maximizado)?
- Quais são as restrições (especialmente a de espaço e os limites de demanda)?
Informações relevantes fornecidas (peguei estes números da tabela do enunciado). Para cada item
definimos três parâmetros: demanda
(unidades entre reabastecimentos), lucro unitário
(R$/unidade) e área por unidade
(cm
/unidade). Os valores são:
Capacidade de prateleira disponível:
.
O enunciado também informa que, se todos os itens fossem colocados à venda em suas demandas máximas, a área necessária seria (ou seja,
; peguei os
e
da tabela para essa soma).
O enunciado também informa que, se todos os itens fossem colocados à venda em suas demandas máximas, a área necessária seria
Passo 2
Definição das variáveis de decisão (a parte mais importante para formular o modelo). Sempre que formular um programa linear, comece por decidir o que cada variável representa de forma clara.
Definimos para cada item
a variável
Explicação didática: cada
é a quantidade que o supermercado vai alocar do item
. Essas quantidades geram lucro unitário
e ocupam área unitária
. Nosso objetivo será escolher valores de
que maximizem o lucro total sem ultrapassar a área disponível e sem exceder a demanda entre reabastecimentos (não faz sentido colocar mais unidades do que a demanda prevista).
Passo 3
Função objetivo (como traduzir “maximizar o lucro total” em matemática). O lucro total é a soma dos lucros de cada item, que é lucro unitário vezes quantidade vendida. Assim a função objetivo é
Explicando os termos:
-
é o lucro total (em reais) que queremos maximizar. -
é o lucro por unidade do item (peguei esses da tabela). -
é a quantidade escolhida do item .
Na prática, isso vira uma soma explícita com os coeficientes
; por exemplo, os primeiros termos seriam
Passo 4
Restrição de espaço (como transformar “área disponível” em equação). Cada unidade do item
ocupa
cm
. Logo a soma das áreas ocupadas por todas as unidades escolhidas não pode exceder a capacidade:
Explicando os termos:
-
é a área por unidade do item (peguei esses da tabela). - O lado direito
é a área total disponível (informação do enunciado). - Essa é uma restrição linear: soma de coeficientes vezes variáveis menor ou igual a uma constante.
Passo 5
Restrições de demanda e não-negatividade. Não podemos estocar mais do que a demanda entre reabastecimentos nem escolher quantidades negativas. Assim, para cada
:
Explicando os termos:
- O limite superior
vem da coluna “Demanda entre reabastecimentos” da tabela (peguei esses da tabela). - A desigualdade inferior
é óbvia: não faz sentido número negativo de unidades. - Em muitos contextos de estoque,
deve ser inteiro (número de unidades). Isso transforma o modelo em um programa linear inteiro (ou programa inteiro linear). Se a formulação pedida é estritamente linear contínua, pode-se relaxar a integralidade e permitir contínuo; vou indicar ambas opções a seguir.
Passo 6
Comentário sobre integralidade e forma final. Em termos de formulação padrão:
- Forma inteira (mais fiel à realidade de unidades discretas):
- Forma relaxada (programa linear contínuo, útil para obter limite superior rápido e às vezes usado em provas): substitui
por (e mantendo ):
Ambas são fórmulas lineares: a primeira é um programa inteiro linear (PIL) e a segunda é um programa linear (PL). Em prova, se pedirem “formule o programa linear”, geralmente espera-se a forma relaxada com as variáveis contínuas e os limites
; caso a interpretação seja discreta, inclua a condição de integralidade.]
Passo 7
Vou escrever explicitamente a função objetivo e a restrição de área com os coeficientes numéricos (peguei todos os coeficientes
,
e
da tabela):
Função objetivo (coeficientes
):
Restrição de área (coeficientes
):
Restrições de demanda:
E finalmente a condição de domínio: ou
inteiro para cada
(programa inteiro) ou
real (programa linear relaxado), dependendo da necessidade prática ou do que o exame pedir.