Determine o posto das seguintes matrizes e diga quais delas tem posto completo:
A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & -3 & 0 & 2 \\\\ -8 & 0 & -1 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz A e pede para determinar o posto de A e dizer se ela tem posto completo. A matriz é
A=\begin{bmatrix} 1 & -3 & 0 & 2\\[4pt] -8 & 0 & -1 & -1 \end{bmatrix}.
Perguntas claras:
  • Qual é o posto de A?
  • A tem posto completo (isto é, posto igual a \min(m,n) para uma matriz m\times n)?]

Passo 2

O que é posto e o que significa “posto completo” — aula rápida e amigável:
  • O posto (rank) de uma matriz é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Outra forma prática é: é o número de pivôs (elementos principais) que aparecem quando se reduz a matriz por eliminação gaussiana até a forma escalonada.
  • Para uma matriz m\times n o posto máximo possível é \min(m,n). Dizemos que a matriz tem posto completo se seu posto alcança esse valor máximo.
    No nosso caso A é 2\times4, logo o posto máximo possível é \min(2,4)=2. Basta verificar se as duas linhas são linearmente independentes (ou, equivalentemente, se há dois pivôs após eliminação).

Passo 3

Vamos aplicar eliminação por linhas (operações elementares) para levar A a uma forma escalonada. Escrevo R_1 e R_2 como as linhas iniciais:
R_1=[\,1\;\; -3\;\; 0\;\; 2\,],\qquad R_2=[\,-8\;\; 0\;\; -1\;\; -1\,].
Elimino o -8 na primeira coluna usando R_2 \leftarrow R_2 + 8R_1. Faço as contas componente a componente:
\begin{aligned} &-8 + 8\cdot 1 = 0,\\\ &0 + 8\cdot(-3) = -24,\\\ &-1 + 8\cdot 0 = -1,\\\ &-1 + 8\cdot 2 = -1 + 16 = 15. \end{aligned}
Assim a matriz vira
\begin{bmatrix} 1 & -3 & 0 & 2\\[4pt] 0 & -24 & -1 & 15 \end{bmatrix}.]

Passo 4

Interpretação da forma escalonada encontrada:
  • A primeira linha tem um pivô na coluna 1 (valor 1), portanto existe pivô na primeira linha.
  • A segunda linha é não nula ( [0\; -24\; -1\; 15]), e seu primeiro elemento não nulo aparece na coluna 2 (valor -24), portanto há um segundo pivô na coluna 2.
    Como temos dois pivôs distintos, o número de pivôs é 2. Logo o posto de A é 2.
Complemento didático (checagem por independência): se as duas linhas fossem linearmente dependentes uma seria múltiplo da outra. Se R_2=kR_1 então olhando a primeira entrada teríamos -8 = k\cdot 1 \Rightarrow k=-8. Mas então a segunda entrada daria 0 = k\cdot(-3) = -8\cdot(-3)=24, o que é falso. Logo não são múltiplos e são independentes — confirma o posto 2.

Passo 5

Condição de posto completo: para A (que é 2\times4) o posto completo significa posto =2. Como encontramos posto 2, concluímos que A tem posto completo (tem posto máximo possível).

Resposta

\operatorname{posto}(A)=2
A tem posto completo (pois 2=\min(2,4)).

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