Quatro alternadores trifásicos com potência de 100 \mathrm{kVA} / \mathrm{FP}=0,80 e tensão de linha de 380 V são ligados em paralelo. Pede-se:
a) Potências do arranjo de geradores (P, Q e S) e tensão de saída ( 1,0 );
b) Corrente nominal de saida do arranjo e corrente de uma carga trifásica de 300 \mathrm{~kW}(1,0).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Existem quatro alternadores trifásicos idênticos.
    • Cada alternador tem potência aparente 100\\ \mathrm{kVA}.
    • Fator de potência de cada alternador \mathrm{FP}=0,80.
    • Tensão de linha nominal V_{L}=380\\ \mathrm{V}.
  • O enunciado pede:
    a) As potências do arranjo de geradores: potência ativa P, reativa Q e aparente S, e a tensão de saída (dada como 1,0 — isto será interpretado como p.u.);
    b) A corrente nominal de saída do arranjo (corrente de linha do conjunto) e a corrente de uma carga trifásica de 300\\ \mathrm{kW} com \mathrm{FP}=1,0.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagar):
  • Potência aparente trifásica: S é a magnitude que relaciona tensão, corrente e fase em sistemas trifásicos. A unidade é \mathrm{VA} (ou \mathrm{kVA} quando grande).
  • Potência ativa (real) P e potência reativa Q são os componentes real e imaginário da potência aparente S. Em forma vetorial/complexa: \underline{S} = P + jQ.
  • Fator de potência \mathrm{FP} (ou \cos\varphi) relaciona P e S: \mathrm{FP}=\cos\varphi=\frac{P}{S}.Aqui \varphi é o ângulo de fase entre tensão e corrente.
  • Relação entre P, Q e S: S^2 = P^2 + Q^2.Também se pode escrever Q = P\tan\varphi \qquad\text{ou}\qquad Q = S\sin\varphi.
  • Corrente de linha para potência aparente trifásica: I_{L}=\frac{S}{\sqrt{3}\,V_{L}}.Aqui \;I_{L} é a corrente de linha (amperes), S é em volt-ampere (ou \mathrm{VA}) e V_{L} é a tensão de linha (volts).
Vou aplicar essas fórmulas ao caso de um gerador e depois ao conjunto dos quatro (paralelo).

Passo 3

Determinar P, Q e S de um alternador (valores por unidade do gerador):
  • Potência aparente do gerador (dado): S_{1}=100\\ \mathrm{kVA}=100\,000\\ \mathrm{VA}.
  • Potência ativa usando o fator de potência: P_{1}=S_{1}\cdot\mathrm{FP}=100\,000\cdot0,80=80\,000\\ \mathrm{W}=80\\ \mathrm{kW}.Explicando: multiplicou-se a magnitude aparente pela componente real relativa ( \cos\varphi) para obter a potência útil entregue em Watts.
  • Ângulo de fase \varphi: \varphi=\operatorname{arccos}(0,80)\approx36,87^\circ.Isto mostra quanto a corrente está defasada em relação à tensão.
  • Potência reativa (usar Q=P\tan\varphi ou Q=\sqrt{S^2-P^2}). Vou usar P\tan\varphi porque ajuda a entender o papel de \varphi: Q_{1}=P_{1}\tan\varphi=80\,000\cdot\tan(36,87^\circ).Sabendo que \tan(36,87^\circ)\approx0,75, Q_{1}=80\,000\cdot0,75=60\,000\\ \mathrm{VAR}=60\\ \mathrm{kVAr}.Verificação rápida com a relação pitagórica: \sqrt{(80\\ \mathrm{kW})^{2}+(60\\ \mathrm{kVAr})^{2}}=\sqrt{80^{2}+60^{2}}\\ \mathrm{kVA}=100\\ \mathrm{kVA}=S_{1},consistente.

Passo 4

Somando quatro alternadores em paralelo — regras e resultados:
  • Importante: quando máquinas idênticas são ligadas em paralelo e trabalhando com a mesma tensão de saída, as potências somam (componentes ativa e reativa somam). Portanto: S_{\text{total}}=4\cdot S_{1}=4\cdot100\\ \mathrm{kVA}=400\\ \mathrm{kVA},
P_{\text{total}}=4\cdot P_{1}=4\cdot80\\ \mathrm{kW}=320\\ \mathrm{kW},
Q_{\text{total}}=4\cdot Q_{1}=4\cdot60\\ \mathrm{kVAr}=240\\ \mathrm{kVAr}.
Explicando: é como somar vetores complexos idênticos; a soma escala por 4 porque todos têm mesma magnitude e ângulo.
  • Tensão de saída: em paralelo a tensão terminal é comum a todos os alternadores. Como cada alternador é nominalmente 380 V de linha, a tensão de saída do arranjo é V_{\text{saida}}=380\\ \mathrm{V}.Se escolhermos a base de tensão igual a 380\\ \mathrm{V}, a tensão em per unit é V_{\text{p.u.}}=\frac{V_{\text{saida}}}{380\\ \mathrm{V}}=1,0.Então faz sentido a anotação do enunciado 1,0 (p.u.).

Passo 5

Calcular a corrente nominal de saída do arranjo:
  • Fórmula (relembrando): I_{L}=\frac{S}{\sqrt{3}\,V_{L}}.Aqui S em VA, V_{L} em V e I_{L} em A.
  • Aplicando para o arranjo (usar S_{\text{total}}=400\\ \mathrm{kVA}=400\,000\\ \mathrm{VA} e V_{L}=380\\ \mathrm{V}): I_{\text{arranjo}}=\frac{400\,000}{\sqrt{3}\cdot380}.Calculando numericamente (usar \sqrt{3}\approx1,73205): I_{\text{arranjo}}\approx\frac{400\,000}{1,73205\cdot380}\approx\frac{400\,000}{658,179}\approx607,3\\ \mathrm{A}.
  • Para referência, a corrente nominal de cada alternador (se cada um fornecer a sua potência aparente máxima de 100\\ \mathrm{kVA}) seria I_{\text{por\\ gerador}}=\frac{100\,000}{\sqrt{3}\cdot380}\approx151,8\\ \mathrm{A}.(Confere: 4\cdot151,8\\ \mathrm{A}\approx607,3\\ \mathrm{A}.)

Passo 6

Corrente de uma carga trifásica de 300\\ \mathrm{kW} com \mathrm{FP}=1,0:
  • Como \mathrm{FP}=1,0 (carga puramente ativa), a potência aparente da carga é S_{\text{carga}}=300\\ \mathrm{kVA}=300\,000\\ \mathrm{VA}.
  • Aplicar a mesma fórmula de corrente: I_{\text{carga}}=\frac{S_{\text{carga}}}{\sqrt{3}\,V_{L}}=\frac{300\,000}{\sqrt{3}\cdot380}.Numericamente: I_{\text{carga}}\approx\frac{300\,000}{658,179}\approx455,5\\ \mathrm{A}.
  • Observação prática: se essa carga de 300\\ \mathrm{kW} fosse alimentada pelo arranjo, o arranjo teria capacidade (nominal) de 400\\ \mathrm{kVA}. A corrente da carga ( \approx455,5\\ \mathrm{A}) é menor que a corrente máxima do arranjo ( \approx607,3\\ \mathrm{A}), então, em princípio, o arranjo pode alimentar essa carga com margem. Se a carga fosse igualmente compartilhada entre os quatro geradores idênticos, cada gerador forneceria 75\\ \mathrm{kW} (e corrente por gerador correspondente a cerca de 113,9\\ \mathrm{A}).

Resposta

a) P_{\text{total}}=320\\ \mathrm{kW}
a) Q_{\text{total}}=240\\ \mathrm{kVAr}
a) S_{\text{total}}=400\\ \mathrm{kVA}
a) V_{\text{saida}}=380\\ \mathrm{V}\\ (1,0\\ \text{p.u.})
b) I_{\text{arranjo}}\approx607,3\\ \mathrm{A}
b) I_{\text{carga\\ }300\\ \mathrm{kW}}\approx455,5\\ \mathrm{A}

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