Quatro cargas +q,+q,-q e-q estão colocadas nos vértices de um quadrado de lado a. Determine o campo eléctrico e o potencial no centro do quadrado para os dois casos de distribuição das cargas:
Vértices opostos têm carga com o mesmo sinal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um quadrado com lado de comprimento a e, nos seus quatro cantos, estão colocadas quatro cargas elétricas: duas positivas ( +q) e duas negativas ( -q). O lance é calcular o campo elétrico e o potencial elétrico exatamente no centro desse quadrado. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Lei de Coulomb para o campo elétrico e a fórmula do potencial elétrico. Também vamos precisar aplicar o princípio da superposição, que ajuda a somar os efeitos de múltiplas cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a distância de cada carga até o centro do quadrado. Em um quadrado de lado a, a distância do centro a cada vértice é a metade da diagonal. A diagonal de um quadrado é araiz2, então a distância r do centro a cada carga é:
r = araiz22 = araiz2

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico gerado por uma única carga q no centro. Pela Lei de Coulomb, o campo elétrico E devido a uma carga pontual é dado por:
E = ke |q|r^2
onde ke é a constante eletrostática ( ke approx 8,99 times 10^9 , Ncdotm^2/C^2). Substituindo r = araiz2:
E = ke |q|(araiz2)^2 = ke |q|a^22 = 2ke |q|a^2
Então, cada carga gera um campo de magnitude 2ke qa^2.

Passo 4

Vamos analisar a direção desses campos. As cargas +q exercem campos que apontam para longe delas, enquanto as q apontam em direção a elas. No centro do quadrado:
  • Os dois campos das cargas +q vão em direções opostas ao longo das diagonais.
  • Os dois campos das cargas -q também vão em direções opostas, mas na direção contrária às cargas positivas.

Passo 5

Por causa da simetria, os componentes dos campos elétricos das cargas opostas se anulam nas direções perpendiculares. Isso significa que a componente horizontal de um campo positivo cancela com a componente horizontal do campo negativo correspondente, e o mesmo vale para a componente vertical. Assim, o campo elétrico total no centro resultante da combinação dessas quatro cargas é zero.
Etotal = 0

Passo 6

Agora, vamos calcular o potencial elétrico no centro. Diferente do campo elétrico, o potencial é uma grandeza escalar e, portanto, não possui direção. O potencial total é a soma dos potenciais gerados por cada carga:
Vtotal = V1 + V2 + V3 + V4
O potencial devido a uma única carga q a uma distância r é:
V = ke qr
Substituindo r = araiz2:
V = ke qaraiz2 = ke q raiz2a

Passo 7

Agora, somamos os potenciais das quatro cargas. As cargas positivas contribuem com positivo e as negativas com negativo:
Vtotal = 2 ( ke q raiz2a ) + 2 ( ke (-q) raiz2a ) = 0
Assim, o potencial elétrico total no centro também é zero.

Resposta

No centro do quadrado, o campo elétrico total é nulo ( Etotal = 0) e o potencial elétrico total também é zero ( Vtotal = 0).

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