Quatro cargas
estão colocadas nos vértices de um quadrado de lado
. Determine o campo eléctrico e o potencial no centro do quadrado para os dois casos de distribuição das cargas:
Vértices opostos têm carga com o mesmo sinal.
Vértices opostos têm carga com o mesmo sinal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um quadrado com lado de comprimento
e, nos seus quatro cantos, estão colocadas quatro cargas elétricas: duas positivas (
) e duas negativas (
). O lance é calcular o campo elétrico e o potencial elétrico exatamente no centro desse quadrado. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Lei de Coulomb para o campo elétrico e a fórmula do potencial elétrico. Também vamos precisar aplicar o princípio da superposição, que ajuda a somar os efeitos de múltiplas cargas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a distância de cada carga até o centro do quadrado. Em um quadrado de lado
, a distância do centro a cada vértice é a metade da diagonal. A diagonal de um quadrado é
, então a distância
do centro a cada carga é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo elétrico gerado por uma única carga
no centro. Pela Lei de Coulomb, o campo elétrico
devido a uma carga pontual é dado por:
onde
é a constante eletrostática (
). Substituindo
:
Então, cada carga gera um campo de magnitude
.
Passo 4
Vamos analisar a direção desses campos. As cargas
exercem campos que apontam para longe delas, enquanto as
apontam em direção a elas. No centro do quadrado:
- Os dois campos das cargas
vão em direções opostas ao longo das diagonais. - Os dois campos das cargas
também vão em direções opostas, mas na direção contrária às cargas positivas.
Passo 5
Por causa da simetria, os componentes dos campos elétricos das cargas opostas se anulam nas direções perpendiculares. Isso significa que a componente horizontal de um campo positivo cancela com a componente horizontal do campo negativo correspondente, e o mesmo vale para a componente vertical. Assim, o campo elétrico total no centro resultante da combinação dessas quatro cargas é zero.
Passo 6
Agora, vamos calcular o potencial elétrico no centro. Diferente do campo elétrico, o potencial é uma grandeza escalar e, portanto, não possui direção. O potencial total é a soma dos potenciais gerados por cada carga:
O potencial devido a uma única carga
a uma distância
é:
Substituindo
:
Passo 7
Agora, somamos os potenciais das quatro cargas. As cargas positivas contribuem com positivo e as negativas com negativo:
Assim, o potencial elétrico total no centro também é zero.
Resposta
No centro do quadrado, o campo elétrico total é nulo (
) e o potencial elétrico total também é zero (
).