Quatro cargas são posicionadas nos vértices de um quadrado com centro geométrico na origem da seguinte forma:
no ponto de coordenadas
;
em
em
e
em
,
). Uma quinta carga
é colocada na origem e abandonada a partir do repouso. Determine sua velocidade quando estiver a uma grande distância da origem.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Quatro cargas fixas estão nos vértices de um quadrado centrado na origem, com coordenadas:
- carga
em , - carga
em , - carga
em , - carga
em .
- carga
- Uma quinta carga de prova
é colocada na origem e largada a partir do repouso. - Pergunta: determinar a velocidade dessa carga quando ela estiver a uma grande distância da origem (isto é, efetivamente no infinito).
Informações relevantes que vamos usar:
- A constante eletrostática é
(constante de Coulomb). - A massa da carga em movimento é
. - Distância do centro (origem) até cada vértice é determinada pelas coordenadas dadas.
Passo 2
Distância da carga na origem até qualquer vértice e fórmula da energia potencial elétrica entre duas cargas:
- A distância entre a origem
e um vértice é
- A energia potencial eletrostática entre duas cargas pontuais
e separadas por distância , tomando potencial zero no infinito, é dada por
onde
é a constante eletrostática. Explicando:
é a energia associada à interação elétrica entre as duas cargas; se for positiva a interação é repulsiva, se negativa é atrativa.
Passo 3
Princípio da superposição para energia potencial (como somar contribuições):
- A carga colocada na origem interage com cada uma das quatro cargas fixas independentemente. A energia potencial total inicial entre a carga em
e todas as quatro é a soma das energias individuais:
onde
são as cargas nos vértices e
é a mesma para todas. Ou seja, podemos somar as cargas
primeiro:
Calculemos a soma das cargas nos vértices (peguei essas quantidades do enunciado):
Passo 4
Avaliar explicitamente a energia potencial inicial:
- Substituindo a soma na expressão de
:
- Simplificando o fator
:
portanto
Comentário físico: note que
, ou seja, a configuração inicial resulta em energia potencial positiva para a carga de prova — existe uma tendência líquida de repulsão que pode transformar essa energia em energia cinética ao libertar a carga.
Passo 5
Conservação de energia e cálculo da velocidade final:
- Aplicamos conservação da energia mecânica entre o instante inicial (origem, repouso) e o instante final (carga muito longe,
):
- Inicialmente a energia cinética é zero e a energia potencial é
. No infinito a energia potencial entre a carga de prova e as demais tende a zero (referência), e fica apenas energia cinética . Logo
- Isolando
:
- Factorizando
fora da raiz,
Passo 6
Interpretação breve e dica para prova:
- Resumo do raciocínio que convém saber para a prova: calcule a distância do ponto até cada carga, use
para cada par (com sinal), some (superposição) para obter , então use conservação de energia para obter . - Dica prática: sempre verifique o sinal de
— se for negativo a carga será atraída e pode não escapar ao infinito; aqui o resultado positivo indica fuga e ganho de velocidade.