Quatro cargas são posicionadas nos vértices de um quadrado com centro geométrico na origem da seguinte forma: q no ponto de coordenadas (-a,+a); 2 q em (+a,+a),-3 q em (+a,-a) e 6 q em (-a, -a ). Uma quinta carga +q é colocada na origem e abandonada a partir do repouso. Determine sua velocidade quando estiver a uma grande distância da origem.
Resposta:
v=q \sqrt{\frac{6 \sqrt{2} k}{m a}}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Quatro cargas fixas estão nos vértices de um quadrado centrado na origem, com coordenadas:
    • carga \,q em (-a,+a),
    • carga 2q em (+a,+a),
    • carga -3q em (+a,-a),
    • carga 6q em (-a,-a).
  • Uma quinta carga de prova +q é colocada na origem (0,0) e largada a partir do repouso.
  • Pergunta: determinar a velocidade dessa carga quando ela estiver a uma grande distância da origem (isto é, efetivamente no infinito).
Informações relevantes que vamos usar:
  • A constante eletrostática é k (constante de Coulomb).
  • A massa da carga em movimento é m.
  • Distância do centro (origem) até cada vértice é determinada pelas coordenadas dadas.

Passo 2

Distância da carga na origem até qualquer vértice e fórmula da energia potencial elétrica entre duas cargas:
  • A distância entre a origem (0,0) e um vértice (\pm a,\pm a) é
r=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{2}.
  • A energia potencial eletrostática entre duas cargas pontuais q_1 e q_2 separadas por distância r, tomando potencial zero no infinito, é dada por
U_{12}=k\frac{q_1 q_2}{r},
onde k é a constante eletrostática. Explicando: U_{12} é a energia associada à interação elétrica entre as duas cargas; se for positiva a interação é repulsiva, se negativa é atrativa.

Passo 3

Princípio da superposição para energia potencial (como somar contribuições):
  • A carga colocada na origem interage com cada uma das quatro cargas fixas independentemente. A energia potencial total inicial entre a carga em 0 e todas as quatro é a soma das energias individuais:
U_{\text{inicial}}=\sum_{i=1}^{4} k\frac{q\; Q_i}{r},
onde Q_i são as cargas nos vértices e r=a\sqrt{2} é a mesma para todas. Ou seja, podemos somar as cargas Q_i primeiro:
U_{\text{inicial}}=k\frac{q}{a\sqrt{2}}\sum_{i=1}^4 Q_i.
Calculemos a soma das cargas nos vértices (peguei essas quantidades do enunciado):
\sum_{i=1}^4 Q_i = q + 2q + (-3q) + 6q = 6q.

Passo 4

Avaliar explicitamente a energia potencial inicial:
  • Substituindo a soma na expressão de U_{\text{inicial}}:
U_{\text{inicial}}=k\frac{q}{a\sqrt{2}}\cdot 6q = k\frac{6 q^{2}}{a\sqrt{2}}.
  • Simplificando o fator 6/\sqrt{2}:
\frac{6}{\sqrt{2}}=6\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2},
portanto
U_{\text{inicial}}=3\sqrt{2}\,k\frac{q^{2}}{a}.
Comentário físico: note que U_{\text{inicial}}>0, ou seja, a configuração inicial resulta em energia potencial positiva para a carga de prova — existe uma tendência líquida de repulsão que pode transformar essa energia em energia cinética ao libertar a carga.

Passo 5

Conservação de energia e cálculo da velocidade final:
  • Aplicamos conservação da energia mecânica entre o instante inicial (origem, repouso) e o instante final (carga muito longe, r\to\infty):
\text{energia inicial}=\text{energia final}.
  • Inicialmente a energia cinética é zero e a energia potencial é U_{\text{inicial}}. No infinito a energia potencial entre a carga de prova e as demais tende a zero (referência), e fica apenas energia cinética K=\tfrac{1}{2} m v^{2}. Logo
\tfrac{1}{2}m v^{2}=U_{\text{inicial}}=3\sqrt{2}\,k\frac{q^{2}}{a}.
  • Isolando v:
v=\sqrt{\frac{2\cdot 3\sqrt{2}\,k q^{2}/a}{m}}=\sqrt{\frac{6\sqrt{2}\,k q^{2}}{m a}}.
  • Factorizando q fora da raiz,
v= q \sqrt{\frac{6\sqrt{2}\,k}{m a}}.

Passo 6

Interpretação breve e dica para prova:
  • Resumo do raciocínio que convém saber para a prova: calcule a distância do ponto até cada carga, use U=k q_1q_2/r para cada par (com sinal), some (superposição) para obter U_{\text{inicial}}, então use conservação de energia para obter v.
  • Dica prática: sempre verifique o sinal de U_{\text{inicial}} — se for negativo a carga será atraída e pode não escapar ao infinito; aqui o resultado positivo indica fuga e ganho de velocidade.

Resposta

v=q \sqrt{\frac{6 \sqrt{2} k}{m a}}

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