(a) Um capacitor de 3 \mu \mathrm{~F} é carregado por um potencial de 100 V . Qual a energia armazenada no capacitor? (b) Qual o valor da energia adicional necessária para carregar o capacitor de um potencial 100 V para outro de 200 V ?
Resposta:
(a) U=15 \mathrm{~mJ}
(b) \Delta U=45 \mathrm{~mJ}

Passo 1

O enunciado dá um capacitor e pede duas coisas. Dados fornecidos:
  • Capacitância: C = 3\\ \mu\mathrm{F}.
  • Primeiro potencial: V_1 = 100\\ \mathrm{V}.
  • Segundo potencial: V_2 = 200\\ \mathrm{V}.
Perguntas:
(a) Qual a energia armazenada no capacitor quando está em V_1 = 100\\ \mathrm{V}?
(b) Qual a energia adicional necessária para levar o capacitor de V_1 = 100\\ \mathrm{V} para V_2 = 200\\ \mathrm{V}?

Passo 2

Conceito e fórmula principal: a energia elétrica armazenada em um capacitor pode ser obtida calculando o trabalho necessário para carregar o capacitor. Se q é a carga no capacitor, a diferença de potencial entre placas é v = q/C. Um pequeno acréscimo de carga dq exige trabalho dW = v\,dq = \dfrac{q}{C}\,dq. Integrando desde q=0 até q=Q (carga final),
U=\int_{0}^{Q}\frac{q}{C}\,dq=\frac{1}{C}\left[\frac{q^{2}}{2}\right]_{0}^{Q}=\frac{Q^{2}}{2C}.
Como a carga final Q está relacionada à tensão por Q=CV, substituindo obtemos a fórmula usual
U=\frac{1}{2}CV^{2}.
Explicando as variáveis:
  • U é a energia armazenada (em joules, \mathrm{J}).
  • C é a capacitância (em farads, \mathrm{F}).
  • V é a diferença de potencial (em volts, \mathrm{V}).
Essa fórmula é válida para um capacitor ideal carregado até tensão V.

Passo 3

Preparar unidades e calcular U em V_1=100\\ \mathrm{V}.
Primeiro converto a capacitância de microfarads para farads:
C = 3\\ \mu\mathrm{F} = 3\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
Aplicando a fórmula \,U=\dfrac{1}{2}CV^{2}\, com V=V_1=100\\ \mathrm{V},
U_1=\frac{1}{2}\,C\,V_1^{2}=\frac{1}{2}\cdot 3\times10^{-6}\cdot(100)^{2}.
Calcule passo a passo:
(100)^{2}=10^{4},
3\times10^{-6}\cdot10^{4}=3\times10^{-2}=0{,}03,
\frac{1}{2}\cdot 0{,}03 = 0{,}015\\ \mathrm{J}.
Converter para miliJoule ( 1\\ \mathrm{mJ}=10^{-3}\\ \mathrm{J}):
0{,}015\\ \mathrm{J}=15\\ \mathrm{mJ}.

Passo 4

Calcular a energia quando V=V_2=200\\ \mathrm{V}, para depois obter a energia adicional.
Usando a mesma fórmula,
U_2=\frac{1}{2}\,C\,V_2^{2}=\frac{1}{2}\cdot 3\times10^{-6}\cdot(200)^{2}.
Passo a passo:
(200)^{2}=4\times10^{4},
3\times10^{-6}\cdot 4\times10^{4}=12\times10^{-2}=0{,}12,
\frac{1}{2}\cdot 0{,}12 = 0{,}06\\ \mathrm{J}.
Converter para miliJoule:
0{,}06\\ \mathrm{J}=60\\ \mathrm{mJ}.

Passo 5

Energia adicional necessária para aumentar a tensão de 100\\ \mathrm{V} para 200\\ \mathrm{V} é a diferença
\Delta U = U_2 - U_1 = 0{,}06\\ \mathrm{J} - 0{,}015\\ \mathrm{J} = 0{,}045\\ \mathrm{J}.
Em miliJoule:
0{,}045\\ \mathrm{J}=45\\ \mathrm{mJ}.
Observação rápida de prova: também dá para usar diretamente a fórmula diferença
\Delta U=\frac{1}{2}C\bigl(V_2^{2}-V_1^{2}\bigr),
que leva ao mesmo resultado com menos passos algébricos.

Resposta

(a) U=15\\ \mathrm{mJ}
(b) \Delta U=45\\ \mathrm{mJ}

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