Um segmento de reta infinito carregado com densidade linear de carga
apóia-se sobre o eixo
. Determine o potencial para as seguintes distâncias de segmento de reta carregado: Admita que
a uma distância de
.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Densidade linear de carga:
. - A carga está distribuída ao longo do eixo
(reta infinita ao longo de ). - Foi fixada uma referência de potencial:
à distância do eixo. - Pergunta: determinar o potencial elétrico
à distância do eixo (assumir espaço livre/vácuo). - Constante elétrica no vácuo que será usada:
(valor numérico será empregado ao calcular).
Passo 2
Entender a simetria e escolher a estratégia (breve explicação didática).
- Por simetria cilíndrica, o potencial e o campo elétrico dependem apenas da distância radial
ao eixo . - Para tirar o potencial, é prático primeiro obter o módulo do campo elétrico
produzido por uma linha infinita com densidade e depois integrar esse campo radial para obter a diferença de potencial. Isso evita ambiguidades com o potencial absoluto da linha infinita (que diverge) usando a referência dada em .
Passo 3
Cálculo do campo elétrico por Gauss (aula curta sobre o método).
- O Teorema de Gauss diz:
- Escolhe-se uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio
e comprimento . Pela simetria, é radial e constante sobre a superfície lateral, e as tampas não contribuem (o campo é paralelo às tampas). - A carga envolvida é
. - Então:
- Cancelando
e isolando :
Aqui
está apontando radialmente para fora se
. Explicando variáveis:
é carga por unidade de comprimento,
é permissividade do vácuo e
é a distância radial.
Passo 4
Relação entre campo e potencial (integração).
- A diferença de potencial entre
e é dada por
- Tomando um caminho radial (onde
) e usando a expressão de :
- A integral de
é logarítmica, logo
- Como foi dado
, temos a fórmula final prática:
Observação física: para
,
diminui quando
aumenta (ficando negativo para
).
Passo 5
Substituir os valores numéricos passo a passo e calcular.
- Converter
para unidades SI:
- Usar
. Uma forma prática é usar . Então
- Calcular o fator
:
- Calcular o logaritmo:
- Multiplicando:
- Arredondando de forma razoável (duas casas significativas compatíveis com os dados):
Passo 6
Interpretação curta e incentivo.
- O sinal negativo diz que, tomando
em , o potencial em ficou menor (mais negativo), o que faz sentido para carga positiva concentrada no eixo. - Boa! Esse é um tipo clássico de exercício: lembra que para linha infinita o potencial absoluto não é definido sem referência, por isso deram
em . Continua firme — você já entendeu o procedimento: achar por simetria/Gauss e integrar para obter .