Um segmento de reta infinito carregado com densidade linear de carga λ=1,5 μC / m apóia-se sobre o eixo z. Determine o potencial para as seguintes distâncias de segmento de reta carregado: Admita que V=0 a uma distância de 2,5 \mathrm{~m}.
4,0 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Densidade linear de carga: \lambda = 1,5\\ \mu\mathrm{C/m}.
  • A carga está distribuída ao longo do eixo z (reta infinita ao longo de z).
  • Foi fixada uma referência de potencial: V=0 à distância r_0=2,5\\ \mathrm{m} do eixo.
  • Pergunta: determinar o potencial elétrico V à distância r=4,0\\ \mathrm{m} do eixo (assumir espaço livre/vácuo).
  • Constante elétrica no vácuo que será usada: \epsilon_0 (valor numérico será empregado ao calcular).

Passo 2

Entender a simetria e escolher a estratégia (breve explicação didática).
  • Por simetria cilíndrica, o potencial e o campo elétrico dependem apenas da distância radial r ao eixo z.
  • Para tirar o potencial, é prático primeiro obter o módulo do campo elétrico \,E(r)\, produzido por uma linha infinita com densidade \lambda e depois integrar esse campo radial para obter a diferença de potencial. Isso evita ambiguidades com o potencial absoluto da linha infinita (que diverge) usando a referência dada em r_0.

Passo 3

Cálculo do campo elétrico por Gauss (aula curta sobre o método).
  • O Teorema de Gauss diz:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}.
  • Escolhe-se uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r e comprimento L. Pela simetria, \mathbf{E} é radial e constante sobre a superfície lateral, e as tampas não contribuem (o campo é paralelo às tampas).
  • A carga envolvida é Q_{\text{enc}}=\lambda L.
  • Então:
E(r)\cdot(2\pi r L)=\frac{\lambda L}{\epsilon_0}.
  • Cancelando L e isolando E(r):
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\,r}.
Aqui E(r) está apontando radialmente para fora se \lambda>0. Explicando variáveis: \lambda é carga por unidade de comprimento, \epsilon_0 é permissividade do vácuo e r é a distância radial.

Passo 4

Relação entre campo e potencial (integração).
  • A diferença de potencial entre r_0 e r é dada por
V(r)-V(r_0)=-\int_{r_0}^{r} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
  • Tomando um caminho radial (onde \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=E(r')\,dr') e usando a expressão de E(r'):
V(r)-V(r_0)=-\int_{r_0}^{r}\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\,r'}\,dr'.
  • A integral de 1/r' é logarítmica, logo
V(r)-V(r_0)=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\!\left(\frac{r}{r_0}\right).
  • Como foi dado V(r_0)=0, temos a fórmula final prática:
V(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\!\left(\frac{r_0}{r}\right).
Observação física: para \lambda>0, V(r) diminui quando r aumenta (ficando negativo para r>r_0).

Passo 5

Substituir os valores numéricos passo a passo e calcular.
  • Converter \lambda para unidades SI:
\lambda=1{,}5\\ \mu\mathrm{C/m}=1{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}.
  • Usar \epsilon_0. Uma forma prática é usar 1/(4\pi\epsilon_0)=8{,}9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}. Então
\frac{1}{2\pi\epsilon_0}=2\cdot\frac{1}{4\pi\epsilon_0}=2\cdot 8{,}9875517923\times10^{9}=1{,}79751035846\times10^{10}.
  • Calcular o fator \dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}:
\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}=(1{,}5\times10^{-6})\cdot(1{,}79751035846\times10^{10}) \approx 2{,}6962655377\times10^{4}\\ \mathrm{V}.
  • Calcular o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{r_0}{r}\right)=\ln\!\left(\frac{2{,}5}{4{,}0}\right)=\ln(0{,}625)\approx -0{,}4700036292.
  • Multiplicando:
V(4{,}0\\ \mathrm{m}) \approx 2{,}6962655377\times10^{4}\times(-0{,}4700036292) \approx -1{,}2672546\times10^{4}\\ \mathrm{V}.
  • Arredondando de forma razoável (duas casas significativas compatíveis com os dados):
V(4{,}0\\ \mathrm{m}) \approx -1{,}27\times10^{4}\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo.
  • O sinal negativo diz que, tomando V=0 em r_0=2{,}5\\ \mathrm{m}, o potencial em r=4{,}0\\ \mathrm{m} ficou menor (mais negativo), o que faz sentido para carga positiva concentrada no eixo.
  • Boa! Esse é um tipo clássico de exercício: lembra que para linha infinita o potencial absoluto não é definido sem referência, por isso deram V=0 em r_0. Continua firme — você já entendeu o procedimento: achar E(r) por simetria/Gauss e integrar para obter V(r).

Resposta

-1{,}27\times10^{4}\\ \mathrm{V}

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