Quatro esferaa, cada uma de massa m, estão dispostas nos vértices de um quadrado de lado L.
Mostre que a força gravitacional sobre cada esfera dirige-se para o centro para o centro do quadrado e calcule a intensidade de tal força;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre quatro esferas de massa $ m $ posicionadas nos vértices de um quadrado com lado $ L $. O que a gente precisa fazer é mostrar que a força gravitacional que atua em cada esfera aponta para o centro do quadrado e calcular o valor dessa força. A matéria envolvida aqui é a Lei da Gravitação Universal e um pouco de geometria vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que atuam em uma das esferas. Cada esfera vai sentir a atração gravitacional das outras três esferas. A gravidade é uma força que sempre puxa os objetos em direção uns aos outros.

Passo 3

A fórmula da força gravitacional entre duas massas é dada por:
F = G m1 m2r^2
onde $ G $ é a constante gravitacional, $ m_1 $ e $ m_2 $ são as massas das esferas, e $ r $ é a distância entre elas.

Passo 4

Como as esferas estão nos vértices de um quadrado, a distância entre duas esferas que estão na mesma linha do lado do quadrado é $ L $, e a distância entre as esferas diagonais é $ L\sqrt{2} $.

Passo 5

Vamos calcular a força gravitacional entre a esfera escolhida e uma das que estão no mesmo lado do quadrado:
Flado = G m cdot mL^2 = G m^2L^2
Essa força vai apontar diretamente para a esfera vizinha.

Passo 6

Agora, a força gravitacional entre a esfera escolhida e a esfera diagonal será:
Fdiagonal = G m cdot m(Lraiz2)^2 = G m^22L^2
Essa força vai apontar em direção à esfera diagonal.

Passo 7

Agora, precisamos somar vetorialmente essas forças. As forças dos lados são perpendiculares entre si e vão apontar para o centro do quadrado quando somadas, assim como a força diagonal também contribui para esse direcionamento.

Passo 8

Devido à simetria do quadrado, todas as forças resultantes das quatro esferas irão se cancelar nas direções horizontais e verticais, sobrando apenas uma força resultante que aponta para o centro do quadrado.

Passo 9

Vamos calcular a intensidade da força resultante. Como há duas forças dos lados agindo nas direções perpendiculares, aplicamos o teorema de Pitágoras:
Fresu

Passo 10

Considerando a contribuição da força diagonal, que também aponta em direção ao centro, somamos essa força à força resultante já calculada:
Ftotal = Fresu
Simplificando, temos:
Ftotal = G m^2L^2 ( raiz2 + 12 )

Resposta

A força gravitacional sobre cada esfera aponta para o centro do quadrado e tem intensidade igual a:
F = G m^2L^2 ( raiz2 + 12 )

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