Quatro esferas estão sob suportes isolantes, elas formam um quadrado de lado 0,5 \mathrm{~m} \mathrm{e} têm cargas iguais, valendo +5 \times 10^{-9} \mathrm{C}. Qual o módulo da força que cada uma das cargas sente?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Quatro esferas estão nos vértices de um quadrado de lado 0{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Todas têm cargas iguais: q=+5\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • Os suportes são isolantes (ou seja, as cargas ficam fixas nos vértices).
  • Pergunta: qual o módulo da força que cada carga sente (isto é, a resultante das forças elétricas provocadas pelas outras três cargas sobre uma dada carga)?
Resumo dos dados relevantes que vamos usar:
  • a=0{,}5\\ \mathrm{m} (lado do quadrado).
  • q=5\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • Constante eletrostática k (lei de Coulomb): k\approx8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.

Passo 2

Escolha de coordenadas e identificação das forças individuais (organização do problema).
  • Coloco as quatro cargas nos vértices do quadrado com coordenadas:
    • carga em A=(0,0) — vou calcular a força sobre essa.
    • carga em B=(a,0).
    • carga em C=(0,a).
    • carga em D=(a,a).
  • Cada uma das três outras cargas exerce uma força em A. Essas forças são todas de repulsão (porque todas as cargas são positivas).
  • Distâncias:
    • entre A e B: r_{AB}=a.
    • entre A e C: r_{AC}=a.
    • entre A e D: r_{AD}=a\sqrt{2} (diagonal do quadrado).
  • Vamos somar vetorialmente as três forças para obter a resultante sobre A.

Passo 3

Apresentação da lei de Coulomb e como usá-la (aulas rápidas).
  • Lei de Coulomb (forma escalar para o módulo da força entre duas cargas puntiformes):
F = k\,\dfrac{|q_1 q_2|}{r^{2}}.
  • Aqui F é o módulo da força entre duas cargas q_1 e q_2 separadas por distância r.
  • k é a constante eletrostática k\approx8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
  • Para somar vetores, é útil decompor cada força em componentes x e y. A direção e sentido vêm da posição relativa das cargas e do fato de ser repulsão.

Passo 4

Cálculo dos módulos das forças individuais.
  • Força entre A e B (distância a):
F_{\text{lado}} = k\,\dfrac{q^{2}}{a^{2}}.
Substituindo q^{2}=(5\times10^{-9})^{2}=25\times10^{-18}=2{,}5\times10^{-17} e a^{2}=(0{,}5)^{2}=0{,}25,
\frac{q^{2}}{a^{2}}=\frac{2{,}5\times10^{-17}}{0{,}25}=1{,}0\times10^{-16}.
Logo
F_{\text{lado}}=k\times1{,}0\times10^{-16}\approx8{,}988\times10^{9}\times1{,}0\times10^{-16}=8{,}988\times10^{-7}\\ \mathrm{N}.
  • Força entre A e D (diagonal, distância a\sqrt{2}, então r^{2}=2a^{2}=0{,}5):
F_{\text{diag}} = k\,\dfrac{q^{2}}{(a\sqrt{2})^{2}}=k\,\dfrac{q^{2}}{2a^{2}}.
Usando q^{2}=2{,}5\times10^{-17} e 2a^{2}=0{,}5,
\frac{q^{2}}{2a^{2}}=\frac{2{,}5\times10^{-17}}{0{,}5}=5{,}0\times10^{-17},
então
F_{\text{diag}}=k\times5{,}0\times10^{-17}\approx8{,}988\times10^{9}\times5{,}0\times10^{-17}=4{,}494\times10^{-7}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Decomposição vetorial e soma das componentes.
  • Direções (para a carga em A=(0,0)):
    • Força de B=(a,0) sobre A: repulsiva, aponta para a esquerda (componente x negativa). Módulo F_{\text{lado}}. Componentes: (F_{B,x},F_{B,y})=(-F_{\text{lado}},0).
    • Força de C=(0,a) sobre A: repulsiva, aponta para baixo (componente y negativa). Componentes: (0,-F_{\text{lado}}).
    • Força de D=(a,a) sobre A: repulsiva, aponta ao longo da diagonal que liga D a A, isto é, direção com ângulo de 225^\circ no sistema usual — em componentes: ambas negativas com mesma magnitude (proporcional a 1/\sqrt{2}). Componentes: \bigl(-F_{\text{diag}}/\sqrt{2},-F_{\text{diag}}/\sqrt{2}\bigr).
  • Soma das componentes:
    • Componente x total:
    F_x = -F_{\text{lado}} - \frac{F_{\text{diag}}}{\sqrt{2}}.
    • Componente y total:
    F_y = -F_{\text{lado}} - \frac{F_{\text{diag}}}{\sqrt{2}}.
    (Por simetria F_x=F_y.)
  • Substituindo os valores numéricos:
    • F_{\text{lado}}=8{,}988\times10^{-7}\\ \mathrm{N}.
    • F_{\text{diag}}=4{,}494\times10^{-7}\\ \mathrm{N}.
    • F_{\text{diag}}/\sqrt{2}= \dfrac{4{,}494\times10^{-7}}{\sqrt{2}}\approx3{,}179\times10^{-7}\\ \mathrm{N}.
    • Então
    F_x=F_y=-(8{,}988\times10^{-7})-(3{,}179\times10^{-7})\approx -1{,}2167\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Cálculo do módulo da força resultante e interpretação final.
  • Módulo da resultante (soma vetorial em duas componentes iguais):
F_{\text{res}}=\sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}}=\sqrt{2}\,|F_x|.
  • Usando |F_x|\approx1{,}2167\times10^{-6}\\ \mathrm{N},
F_{\text{res}}=\sqrt{2}\times1{,}2167\times10^{-6}\approx1{,}721\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.
  • Interpretação: cada carga é repelida pelas três outras e a resultante aponta para dentro do quadrante correspondente (no nosso exemplo, para a direção sul-oeste a partir do vértice escolhido), com módulo aproximadamente 1{,}72\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.

Resposta

1{,}72\times10^{-6}\\ \mathrm{N}

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