Dois objetos eletricamente carregados com cargas q_{1}=+2,0 \times 10^{-9} C e q_{2}=+5,0 \times 10^{-9} C são separados por 50 cm . Onde você deve colocar um terceiro objeto eletricamente carregado de modo que a força elétrica líquida exercida sobre ele pelos dois primeiros objetos seja zero?

Passo 1

O enunciado dá duas cargas puntiformes positivas e uma distância entre elas, e pede o ponto em que deve ser colocado um terceiro objeto carregado para que a força elétrica resultante sobre ele, devida às duas primeiras cargas, seja zero.
Informações fornecidas:
  • q_{1}=+2,0\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • q_{2}=+5,0\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • Distância entre q_{1} e q_{2}: 0,50\\ \mathrm{m}.
O que se pede:
  • Determinar a posição (em relação às cargas dadas) onde se deve colocar um terceiro objeto carregado para que a força elétrica líquida exercida sobre ele pelas duas cargas seja zero.

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicação curta e didática):
  • Lei de Coulomb: a força elétrica entre duas cargas puntuais é dada por
F = k\,\frac{|q_a q_b|}{r^{2}},
onde k é a constante eletrostática ( k\approx 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}), q_a e q_b são as cargas, e r é a distância entre elas. O módulo da força depende de 1/r^{2}. A direção: cargas de mesmo sinal se repelem; de sinais opostos se atraem.
  • Princípio da superposição: a força total sobre uma carga é a soma vetorial das forças individuais exercidas por cada outra carga.
  • Observação prática: para que duas forças se anulem, elas devem ter o mesmo módulo e sentidos opostos.
Vamos usar esses fatos para achar um ponto onde as forças de q_1 e q_2 sobre a terceira carga tenham módulos iguais e sentidos opostos.

Passo 3

Análise de onde a anulação pode ocorrer (sem equações ainda), pensando nos sentidos das forças:
  • As duas cargas q_{1} e q_{2} são positivas.
  • Se o terceiro objeto (chame-o de q_3) for colocado fora do segmento que une q_1 e q_2 (à esquerda de q_1 ou à direita de q_2), as forças de q_1 e q_2 sobre q_3 têm o mesmo sentido (ambas empurram para fora), logo não podem se cancelar.
  • Se q_3 for colocado entre q_1 e q_2, então q_1 o repele em uma direção (para a direita) e q_2 o repele na direção oposta (para a esquerda) — esses sentidos são opostos e podem se anular se os módulos forem iguais.
Conclusão útil: a posição buscada, se existir, está entre q_1 e q_2.

Passo 4

Escolha de coordenadas e igualdade de módulos das forças:
  • Coloco q_{1} em x=0 e q_{2} em x=0,50\\ \mathrm{m}.
  • Seja x a posição do terceiro objeto q_{3} medida a partir de q_{1}, com 0<x<0,50.
  • Módulo da força de q_{1} sobre q_{3}:
F_{1} = k\,\frac{|q_{1} q_{3}|}{x^{2}}.
  • Módulo da força de q_{2} sobre q_{3}:
F_{2} = k\,\frac{|q_{2} q_{3}|}{(0,50 - x)^{2}}.
Para anulação: F_{1}=F_{2}. Podemos cancelar k e |q_{3}| (assumindo q_{3}\neq0), obtendo a condição
\frac{q_{1}}{x^{2}}=\frac{q_{2}}{(0,50 - x)^{2}}.

Passo 5

Resolução algébrica passo a passo:
  1. A igualdade
\frac{q_{1}}{x^{2}}=\frac{q_{2}}{(0,50 - x)^{2}}
  1. Tomando raiz positiva dos dois lados (distâncias positivas), obtemos
\frac{\sqrt{q_{1}}}{x}=\frac{\sqrt{q_{2}}}{0,50 - x}.
  1. Reorganizando:
\frac{0,50 - x}{x}=\sqrt{\frac{q_{2}}{q_{1}}}.
  1. Isolando x:
0,50 - x = x\sqrt{\frac{q_{2}}{q_{1}}}\quad\Rightarrow\quad 0,50 = x\left(1+\sqrt{\frac{q_{2}}{q_{1}}}\right)
\Rightarrow\quad x = \frac{0,50}{\,1+\sqrt{\dfrac{q_{2}}{q_{1}}}\,}.
  1. Substituindo os valores dados (todos em TeX):
\frac{q_{2}}{q_{1}}=\frac{5,0\times10^{-9}}{2,0\times10^{-9}}=2,5.
\sqrt{\frac{q_{2}}{q_{1}}}=\sqrt{2,5}\approx1,58113883.
x=\frac{0,50}{1+1,58113883}=\frac{0,50}{2,58113883}\approx0,193784\\ \mathrm{m}.
  1. Em unidades mais familiares: x\approx0,1938\\ \mathrm{m}=19,38\\ \mathrm{cm}.
    Distância ao outro lado: 0,50-x\approx0,306216\\ \mathrm{m}=30,62\\ \mathrm{cm}.
Comentário físico final: o resultado não depende do valor nem do sinal de q_{3} (contanto que q_{3}\neq0), porque |q_{3}| cancela na equação. Para cargas positivas ou negativas colocadas entre q_1 e q_2, as forças de q_1 e q_2 têm sentidos opostos e podem se anular nesse ponto.

Resposta

O terceiro objeto deve ser colocado entre q_{1} e q_{2}, a uma distância de 0,1938\\ \mathrm{m} (aproximadamente 19,4\\ \mathrm{cm}) de q_{1} (ou, equivalentemente, 0,3062\\ \mathrm{m} 30,6\\ \mathrm{cm} de q_{2}).

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