Quatro objetos, todos de massa
e raio
estão inicialmente em repouso na parte superior de um plano inclinado um ângulo
: Uma esfera maciça; uma esfera oca, um cilindro e um aro. Determine:
A aceleração do centro de massa de todos os objetos. Qual objeto chega primeiro?
A aceleração do centro de massa de todos os objetos. Qual objeto chega primeiro?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que quatro objetos (todos com massa
e raio
) estão rolando sem deslizar num plano inclinado de ângulo
. Precisamos achar a aceleração do centro de massa de cada um (esfera maciça, esfera oca, cilindro maciço e aro) e ver quem chega primeiro lá embaixo.
Conteúdo: dinâmica de translação e rotação (Leis de Newton e torque), momento de inércia e condição de rolamento sem deslizamento.
Conteúdo: dinâmica de translação e rotação (Leis de Newton e torque), momento de inércia e condição de rolamento sem deslizamento.
Passo 2
Primeiro, vamos achar uma fórmula geral.
- Na direção do plano inclinado, a força que puxa o objeto para baixo é
. Há uma força de atrito estático para cima, que gera o torque que faz o corpo girar. - Pela 2ª Lei de Newton (translação):
- Para a rotação em torno do centro de massa, o torque devido a
é . Pela 2ª Lei de Newton para rotação:
- Condição de rolamento sem deslizamento diz
. - Isolando
da equação de torque:
- Substitui em
:
- Então a fórmula geral é
Passo 3
Agora, para cada corpo, basta usar o momento de inércia
e colocar na fórmula:
- Esfera maciça:
- Esfera oca:
- Cilindro maciço:
- Aro (ou cilindro fino):
Passo 4
Vamos ordenar as acelerações do maior para o menor:
Quem tiver maior aceleração chega primeiro lá embaixo.
Resposta
- Acelerações:
• Esfera maciça:
• Cilindro maciço:
• Esfera oca:
• Aro: - Quem chega primeiro: a esfera maciça (maior aceleração).