Quatro objetos, todos de massa M e raio R estão inicialmente em repouso na parte superior de um plano inclinado um ângulo theta : Uma esfera maciça; uma esfera oca, um cilindro e um aro. Determine:
A aceleração do centro de massa de todos os objetos. Qual objeto chega primeiro?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que quatro objetos (todos com massa e raio ) estão rolando sem deslizar num plano inclinado de ângulo . Precisamos achar a aceleração do centro de massa de cada um (esfera maciça, esfera oca, cilindro maciço e aro) e ver quem chega primeiro lá embaixo.
Conteúdo: dinâmica de translação e rotação (Leis de Newton e torque), momento de inércia e condição de rolamento sem deslizamento.

Passo 2

Primeiro, vamos achar uma fórmula geral.
  1. Na direção do plano inclinado, a força que puxa o objeto para baixo é M a ;=; M g sintheta ;-; Frm fr . Há uma força de atrito estático tau ;=; I,alpha Longrightarrow Frm fr,R ;=; I,alpha para cima, que gera o torque que faz o corpo girar.
  2. Pela 2ª Lei de Newton (translação):
Frm fr = IR,alpha = IR,aR = I,aR^2
  1. Para a rotação em torno do centro de massa, o torque devido a M a = M gsintheta - I,aR^2 ;;Longrightarrow;; M a + IR^2,a = M gsintheta ;;Longrightarrow;; al(M + IR^2r) = M gsintheta é boxeda = M gsinthetaM + dfracIR^2 = gsintheta1 + dfracIM R^2, . Pela 2ª Lei de Newton para rotação:
  1. Condição de rolamento sem deslizamento diz .
  2. Isolando da equação de torque:
  1. Substitui em :
  1. Então a fórmula geral é

Passo 3

Agora, para cada corpo, basta usar o momento de inércia arm esfera,maciça = gsintheta1 + tfrac2/5,M R^2M R^2 = gsintheta1 + tfrac25 = gsinthetatfrac75 = 57,gsintheta e colocar na fórmula:
  1. Esfera maciça: arm esfera,oca = gsintheta1 + tfrac23 = gsinthetatfrac53 = 35,gsintheta
arm cilindro = gsintheta1 + tfrac12 = gsinthetatfrac32 = 23,gsintheta ç
  1. Esfera oca: arm aro = gsintheta1 + 1 = gsintheta2 = tfrac12,gsintheta
  1. Cilindro maciço:
  1. Aro (ou cilindro fino):

Passo 4

Vamos ordenar as acelerações do maior para o menor:
57,gsintheta ;(approx0,714);>; 23,gsintheta;(approx0,667);>; 35,gsintheta;(approx0,600);>; 12,gsintheta;(,0,500!)
Quem tiver maior aceleração chega primeiro lá embaixo.

Resposta

  • Acelerações:
    • Esfera maciça:
    • Cilindro maciço:
    • Esfera oca:
    • Aro:
  • Quem chega primeiro: a esfera maciça (maior aceleração).

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