A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por x=3 t-4 t^2+t^3, em que x está em metros e t em segundos. Determine a posição do objeto para os seguintes valores de t: (a) 1 s , (b) 2 s , © 3 s , (d) 4 s . (e) Qual é o deslocamento do objeto entre t=0 e t=4 s ? (f) Qual é a velocidade média no intervalo de tempo de t=2 s a t=4 s ? (g) Desenhe o gráfico de x em função de t para 0 <= t <= 4 s e indique como a resposta do item (f) pode ser determinada a partir do gráfico.

Passo 1

Beleza, temos aqui um exercício de cinemática — mais especificamente, posicionamento e movimento ao longo de um eixo. A posição do objeto é dada por
x(t) = 3,t ;-; 4,t^2 ;+; t^3
com em metros e em segundos. O que a gente precisa fazer:
  1. Calcular para .
  2. Calcular o deslocamento entre e .
  3. Calcular a velocidade média entre e .
  4. Desenhar o gráfico de vs.\ de 0 a 4 s e mostrar como a velocidade média sai do gráfico.
    Para isso, vamos usar:
  • Substituição direta na função polinomial pra achar posições.
  • Definição de deslocamento .
  • Definição de velocidade média .
  • No gráfico, a velocidade média é a inclinação da reta secante entre dois pontos.

Passo 2

Calcular x(1) = 3cdot1 - 4cdot1^2 + 1^3 = 3 - 4 +1 = 0;m em cada tempo:
(a) x(2) = 3cdot2 - 4cdot2^2 + 2^3 = 6 - 16 + 8 = -2;m
x(3) = 3cdot3 - 4cdot3^2 + 3^3 = 9 - 36 + 27 = 0;m
(b) x(4) = 3cdot4 - 4cdot4^2 + 4^3 = 12 - 64 + 64 = 12;m
©
(d)

Passo 3

Deslocamento entre e :
  1. Primeiro, .

  2. Isso significa que, do início ( ) até ,s, o objeto saiu do 0 m e foi parar em 12 m, logo deslocou 12 m.

Passo 4

Velocidade média entre vrm m = De s e s:
Aqui usamos a ideia de “taxa de variação média”: quanto a posição mudou dividido pelo tempo que levou.

Passo 5

Gráfico de vs.\ para :
  • Desenha a curva .
  • Marca os pontos e .
  • A reta que liga esses dois pontos é a secante.
  • A inclinação dessa reta é exatamente
    ,
    que é a nossa velocidade média do item (f).
Ou seja, no gráfico, é só traçar a reta entre os pontos correspondentes a e e medir o “sobe/desce dividido pelo corre” — e daí sai 7 m/s.

Resposta

(a) m
(b) m
© m
(d) m
(e) m
(f) m/s
(g) No gráfico de vs.\ de 0 a 4 s, a secante entre e tem inclinação , que é a velocidade média.

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