Quatro (4) particulas de massas m 1, m 2, m 3 e m 4 estão posicionadas em um plano cartesiano conforme os dados a seguir: 40 g, x=2 cm, y=2 cm ; 20 g, x=0 cm, y=4 cm ; 30 g, x=-3 cm, y=-3 cm ; 50 g, x=-2 cm, y=4 cm. Qual é o momento de inércia do conjunto em relação ao eixo x e y?
(2.5pt)

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para a gente achar o momento de inércia de quatro partículas (com massas e posições dadas) em relação ao eixo x e ao eixo y. Isso faz parte da matéria de Mecânica (Momento de Inércia de massas pontuais). Para resolver a gente vai usar a fórmula básica para um conjunto discreto de massas:
  • Iₓ = ∑ mᵢ·yᵢ²
  • Iᵧ = ∑ mᵢ·xᵢ²

Passo 2

Primeiro, um pouco da teoria por trás: o momento de inércia de uma partícula de massa m a uma distância r de um eixo é I = m·r². Para várias partículas a gente soma cada contribution. Aqui, para o eixo x a “distância” de cada partícula é sua coordenada yᵢ; para o eixo y, é a coordenada xᵢ.
Vamos manter as unidades em grama (g) e centímetro (cm) para facilitar e depois converter para SI, se quiser.

Passo 3

Calcular Iₓ = ∑ mᵢ·yᵢ² em g·cm²:
  • Partícula 1: m₁=40 g, y₁=2 cm ⇒ 40·(2)² = 40·4 = 160
  • Partícula 2: m₂=20 g, y₂=4 cm ⇒ 20·(4)² = 20·16 = 320
  • Partícula 3: m₃=30 g, y₃=–3 cm ⇒ 30·(–3)² = 30·9 = 270
  • Partícula 4: m₄=50 g, y₄=4 cm ⇒ 50·(4)² = 50·16 = 800
    Somando:
Ix = 160 + 320 + 270 + 800 = 1550;g·cm^2

Passo 4

Calcular Iᵧ = ∑ mᵢ·xᵢ² em g·cm²:
  • Partícula 1: m₁=40 g, x₁=2 cm ⇒ 40·(2)² = 160
  • Partícula 2: m₂=20 g, x₂=0 cm ⇒ 20·0² = 0
  • Partícula 3: m₃=30 g, x₃=–3 cm ⇒ 30·(–3)² = 270
  • Partícula 4: m₄=50 g, x₄=–2 cm ⇒ 50·(–2)² = 50·4 = 200
    Somando:
Iy = 160 + 0 + 270 + 200 = 630;g·cm^2

Passo 5

Se quiser em unidades SI (kg·m²), basta usar
1 g = 10⁻³ kg e 1 cm = 10⁻² m,
então 1 g·cm² = 10⁻³·(10⁻²)² = 10⁻⁷ kg·m².
  • Iₓ = 1550·10⁻⁷ = 1,55×10⁻⁴ kg·m²
  • Iᵧ = 630·10⁻⁷ = 6,30×10⁻⁵ kg·m²

Resposta

Iₓ = 1550 g·cm² (ou 1,55×10⁻⁴ kg·m²)
Iᵧ = 630 g·cm² (ou 6,30×10⁻⁵ kg·m²)

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