Quatro (4) particulas de massas
e
estão posicionadas em um plano cartesiano conforme os dados a seguir:
. Qual é o momento de inércia do conjunto em relação ao eixo
e
?
(2.5pt)
(2.5pt)
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para a gente achar o momento de inércia de quatro partículas (com massas e posições dadas) em relação ao eixo x e ao eixo y. Isso faz parte da matéria de Mecânica (Momento de Inércia de massas pontuais). Para resolver a gente vai usar a fórmula básica para um conjunto discreto de massas:
- Iₓ = ∑ mᵢ·yᵢ²
- Iᵧ = ∑ mᵢ·xᵢ²
Passo 2
Primeiro, um pouco da teoria por trás: o momento de inércia de uma partícula de massa m a uma distância r de um eixo é I = m·r². Para várias partículas a gente soma cada contribution. Aqui, para o eixo x a “distância” de cada partícula é sua coordenada yᵢ; para o eixo y, é a coordenada xᵢ.
Vamos manter as unidades em grama (g) e centímetro (cm) para facilitar e depois converter para SI, se quiser.
Passo 3
Calcular Iₓ = ∑ mᵢ·yᵢ² em g·cm²:
- Partícula 1: m₁=40 g, y₁=2 cm ⇒ 40·(2)² = 40·4 = 160
- Partícula 2: m₂=20 g, y₂=4 cm ⇒ 20·(4)² = 20·16 = 320
- Partícula 3: m₃=30 g, y₃=–3 cm ⇒ 30·(–3)² = 30·9 = 270
- Partícula 4: m₄=50 g, y₄=4 cm ⇒ 50·(4)² = 50·16 = 800
Somando:
Passo 4
Calcular Iᵧ = ∑ mᵢ·xᵢ² em g·cm²:
- Partícula 1: m₁=40 g, x₁=2 cm ⇒ 40·(2)² = 160
- Partícula 2: m₂=20 g, x₂=0 cm ⇒ 20·0² = 0
- Partícula 3: m₃=30 g, x₃=–3 cm ⇒ 30·(–3)² = 270
- Partícula 4: m₄=50 g, x₄=–2 cm ⇒ 50·(–2)² = 50·4 = 200
Somando:
Passo 5
Se quiser em unidades SI (kg·m²), basta usar
1 g = 10⁻³ kg e 1 cm = 10⁻² m,
então 1 g·cm² = 10⁻³·(10⁻²)² = 10⁻⁷ kg·m².
1 g = 10⁻³ kg e 1 cm = 10⁻² m,
então 1 g·cm² = 10⁻³·(10⁻²)² = 10⁻⁷ kg·m².
- Iₓ = 1550·10⁻⁷ = 1,55×10⁻⁴ kg·m²
- Iᵧ = 630·10⁻⁷ = 6,30×10⁻⁵ kg·m²
Resposta
Iₓ = 1550 g·cm² (ou 1,55×10⁻⁴ kg·m²)
Iᵧ = 630 g·cm² (ou 6,30×10⁻⁵ kg·m²)
Iᵧ = 630 g·cm² (ou 6,30×10⁻⁵ kg·m²)