Os quatro primeiros polinômios de Hermite são 1,2 t, -2+4 t^2 e-12 t+8 t^3.
Mostre que esses polinômios formam uma base de P^3.

Passo 1

O enunciado dá os quatro primeiros polinômios de Hermite em t:
H0(t)=1, H1(t)=2t, H2(t)=4t^2-2, H3(t)=8t^3-12t
Queremos mostrar que eles formam uma base de P^3, o espaço dos polinômios de grau até 3. Sabendo que dimP^3=4, basta provar que esses quatro são linearmente independentes.

Passo 2

Vamos escrever cada Hi(t) em coordenadas na base canônica 1,t,t^2,t^3:
H0(t)=1longrightarrow (1,0,0,0),
H1(t)=2tlongrightarrow (0,2,0,0),
H2(t)=4t^2-2longrightarrow (-2,0,4,0),
H3(t)=8t^3-12tlongrightarrow (0,-12,0,8)

Passo 3

Formamos a matriz cujas linhas são essas coordenadas:
M = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 -2& 0 & 4 & 0 0 & -12 & 0 & 8
Se det Mneq0, então as linhas são linearmente independentes.

Passo 4

Aplicamos a operação linha 3 linha 3 +;2·(linha 1) para eliminar o -2 em M31. Isso não muda o determinante:
M;longrightarrow; 1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 0 0 & -12 & 0 & 8
Agora expandimos por cofatores pela primeira linha:
det M = 1 cdot det 2 & 0 & 0 0 & 4 & 0 -12 & 0 & 8
Nesse menor, expandimos pela segunda linha:
det 2 & 0 & 0 0 & 4 & 0 -12 & 0 & 8 =4cdotdet2&0-12&8 =4,(2cdot8-0cdot(-12)) =4cdot16 =64
Logo det M=64neq0.

Passo 5

Como det Mneq0, as linhas (isto é, os vetores de coordenadas de H0,H1,H2,H3) são linearmente independentes em P^3. Sendo quatro vetores em um espaço de dimensão 4 e linearmente independentes, eles formam uma base.

Resposta

Os polinômios 1,2t,4t^2-2,8t^3-12t são linearmente independentes e, por terem quantidade igual à dimensão de P^3, formam uma base de P^3.

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