Os quatro primeiros polinômios de Hermite são , .
Mostre que esses polinômios formam uma base de .
Passo 1
O enunciado dá os quatro primeiros polinômios de Hermite em :
Queremos mostrar que eles formam uma base de , o espaço dos polinômios de grau até 3. Sabendo que , basta provar que esses quatro são linearmente independentes.
Passo 2
Vamos escrever cada em coordenadas na base canônica :
Passo 3
Formamos a matriz cujas linhas são essas coordenadas:
Se det Mneq0, então as linhas são linearmente independentes.
Passo 4
Aplicamos a operação linha 3 linha 3 +;2·(linha 1) para eliminar o -2 em M31. Isso não muda o determinante:
Como det Mneq0, as linhas (isto é, os vetores de coordenadas de H0,H1,H2,H3) são linearmente independentes em P^3. Sendo quatro vetores em um espaço de dimensão 4 e linearmente independentes, eles formam uma base.
Resposta
Os polinômios 1,2t,4t^2-2,8t^3-12t são linearmente independentes e, por terem quantidade igual à dimensão de P^3, formam uma base de P^3.