1^a questão (3,0 pontos)
Considere que V=P2(R) (polinômios reais de grau menor ou igual a 2 ) é um espaço vetorial euclidiano, com produto interno definido por
lang<= p, qrang<==integral0^1 p(t) q(t) d t
a) (1,5) Prove que a expressão acima é um produto interno.
b) (1,5) Dados p(t)=1-t^2 e q(t)=t^2, calcule a distância e o ângulo agudo entre p e q.

Passo 1

O enunciado define V=P2(R) com o produto interno
lang<= p,qrang<==integral0^1p(t),q(t),dt
e pede em (a) verificar que isso é realmente um produto interno (simetria, bilinearidade e positividade) e em (b), para p(t)=1-t^2 e q(t)=t^2, calcular a distância d(p,q)=|p-q| e o ângulo agudo entre p e q. Vamos usar definição de produto interno e as fórmulas
|r|=raizlang<= r,rrang<=, costheta=lang<= p,qrang<=|p|;|q|, d(p,q)=|p-q|

Passo 2

Prova de simetria e bilinearidade. Para quaisquer p,q,rin V e alpha,betainR:
lang<= alpha p+beta r,;qrang<= =integral0^1l(alpha p(t)+beta r(t)r),q(t),dt =alphaintegral0^1p(t)q(t),dt+betaintegral0^1r(t)q(t),dt =alphalang<= p,qrang<=+betalang<= r,qrang<=
E, trocando p por q:
lang<= p,qrang<= =integral0^1p(t)q(t),dt =integral0^1q(t)p(t),dt =lang<= q,prang<=

Passo 3

Prova de positividade definida. Para todo pin V:
lang<= p,prang<= =integral0^1p(t)^2,dt>= 0,
com igualdade se, e somente se, p(t)^2=0 em [0,1], isto é, p(t)equiv0. Logo lang<= p,prang<=>0 para pneq0.

Passo 4

Cálculo do produto interno lang<= p,qrang<=. Com p(t)=1-t^2 e q(t)=t^2:
lang<= p,qrang<= =integral0^1(1-t^2),t^2,dt =integral0^1l(t^2-t^4r),dt =l[tfract^33-tfract^55r]0^1 =tfrac13-tfrac15 =tfrac215

Passo 5

Cálculo das normas |p| e |q|. Primeiro
lang<= p,prang<= =integral0^1(1-t^2)^2,dt =integral0^1(1-2t^2+t^4),dt =l[t- tfrac2t^33+tfract^55r]0^1 =1-tfrac23+tfrac15 =tfrac815,
logo |p|=raiztfrac815. Em seguida
lang<= q,qrang<= =integral0^1t^4,dt =l[tfract^55r]0^1 =tfrac15,
logo |q|=raiztfrac15.

Passo 6

Cálculo da distância d(p,q)=|p-q|. Note que
p(t)-q(t)=1-2t^2,
então
|p-q|^2 =integral0^1(1-2t^2)^2,dt =integral0^1(1-4t^2+4t^4),dt =l[t-tfrac4t^33+tfrac4t^55r]0^1 =1-tfrac43+tfrac45 =tfrac715
Logo
d(p,q)=|p-q|=raiztfrac715

Passo 7

Cálculo do ângulo theta. Usamos
costheta =lang<= p,qrang<=|p|;|q| =tfrac215raiztfrac815;raiztfrac15 =2/15raiztfrac875 =raiz66
Como costheta>0, o ângulo é agudo e
theta=arccos!l(tfracraiz66r)

Resposta

A distância entre p e q é
d(p,q)=raiztfrac715
e o ângulo agudo entre eles é
theta=arccos!l(tfracraiz66r)

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