questão (3,0 pontos)
Considere que
(polinômios reais de grau menor ou igual a 2 ) é um espaço vetorial euclidiano, com produto interno definido por
a)
Prove que a expressão acima é um produto interno.
b)
Dados
e
, calcule a distância e o ângulo agudo entre
e
.
Considere que
b)
Passo 1
O enunciado define
com o produto interno
e pede em (a) verificar que isso é realmente um produto interno (simetria, bilinearidade e positividade) e em (b), para
e
, calcular a distância
e o ângulo agudo entre
e
. Vamos usar definição de produto interno e as fórmulas
Passo 2
Prova de simetria e bilinearidade. Para quaisquer
e
:
E, trocando
por
:
Passo 3
Prova de positividade definida. Para todo
:
com igualdade se, e somente se,
em
, isto é,
. Logo
para
.
Passo 4
Cálculo do produto interno
. Com
e
:
Passo 5
Cálculo das normas
e
. Primeiro
logo
. Em seguida
logo
.
Passo 6
Cálculo da distância
. Note que
então
Logo
Passo 7
Cálculo do ângulo
. Usamos
Como
, o ângulo é agudo e
Resposta
A distância entre
e
é
e o ângulo agudo entre eles é