(5) Quatro quadrados iguais de lado x cm são cortados dos cantos de uma folha de papelão retangular medindo 30 cm de largura e 50 cm de comprimento. As abas que sobram são dobradas para cima para formar uma caixa sem tampa. a) Determine quanto deve ser a medida x dos lados dos quadrados retirados, para que o volume da caixa seja o maior possível. b) Calcule esse volume.

Passo 1

O enunciado nos dá uma folha de papelão de 30 cm por 50 cm, da qual são cortados quatro quadrados iguais de lado x nos cantos. Ao dobrar as abas, formamos uma caixa sem tampa de dimensões internas (30-2x)times(50-2x)times x. O conteúdo é otimização de função dada pela derivada e análise de máximos num intervalo.

Passo 2

Montamos a função volume
V(x)=x,(30-2x),(50-2x)
Expandindo, temos
V(x)=1500x-160x^2+4x^3

Passo 3

Para achar o extremo, calculamos a derivada e igualamos a zero:
V'(x)=1500-320x+12x^2=0 Longrightarrow 12x^2-320x+1500=0
Dividindo por 4:
3x^2-80x+375=0

Passo 4

Resolvendo pela fórmula de Bhaskara,
x=80pmraiz80^2-4cdot3cdot3752cdot3 =80pmraiz19006 =40pm5raiz193
Das duas raízes, apenas
x=40-5raiz193approx6,07 cm
está no domínio viável 0<x<15.

Passo 5

Substituindo xapprox6,07 em V(x):
Vmaxapprox6,07,(30-2cdot6,07),(50-2cdot6,07) approx6,07cdot17,86cdot37,86approx4102 cm^3

Resposta

a) x=40-5raiz193approx6,07 cm
b) Vmaxapprox4,10times10^3 cm^3 (aprox. 4102 cm³).

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