Questão 6. Lucas, o gerente de uma loja de eletrodomésticos, calcula que, se cobrar
reais pelo modelo básico de um leitor de livros digitais e
reais pelo modelo avançado, venderá
unidades do modelo básico e
unidades do modelo avançado. Ele sabe também que o custo operacional total associado aos dois tipos de leitores é
reais, em que
a) Note que
e
não podem ser negativos e devem satisfazer as desigualdades
e
. Descreva a região fechada e limitada do plano
que satisfaz essas condições.
b) Que preços Lucas deve cobrar para minimizar o custo operacional? Qual é o custo operacional mínimo?
b) Que preços Lucas deve cobrar para minimizar o custo operacional? Qual é o custo operacional mínimo?
Passo 1
O enunciado fornece dois preços a escolher:
reais pelo modelo básico e
reais pelo modelo avançado. As vendas serão
unidades do básico e
unidades do avançado, e o custo operacional total é dado por
Precisamos (a) descrever a região de
onde isso faz sentido e (b) encontrar o mínimo de
nessa região.
Passo 2
As condições para que tudo seja válido são
Portanto, no plano
a região é o polígono convexo fechado limitado pelas retas
Passo 3
Determinamos os vértices desse polígono pelas interseções das retas:
Interseção de com
:
.
Interseção de com
:
.
Interseção de com
:
.
Interseção de com
:
Interseção de
Interseção de
Interseção de
Interseção de
Logo os vértices são
,
,
e
.
Passo 4
Para achar o mínimo de
, igualamos o gradiente a zero:
Dessa forma vem
Passo 5
Verificamos que
pertence à região:
Logo é viável e, por convexidade de
, é o mínimo global na região.
Passo 6
Calculamos o custo mínimo:
Resposta
Lucas deve cobrar
reais no modelo básico e
reais no modelo avançado.
O custo operacional mínimo é reais.
O custo operacional mínimo é