Questão 6. Lucas, o gerente de uma loja de eletrodomésticos, calcula que, se cobrar x reais pelo modelo básico de um leitor de livros digitais e y reais pelo modelo avançado, venderá 400-x-y unidades do modelo básico e 600-2 x-y unidades do modelo avançado. Ele sabe também que o custo operacional total associado aos dois tipos de leitores é C reais, em que
C(x, y)=x^2-280 x+y^2-380 y+60.000
a) Note que x e y não podem ser negativos e devem satisfazer as desigualdades 400-x-y >= 0 e 600-2 x-y >= 0. Descreva a região fechada e limitada do plano x y que satisfaz essas condições.
b) Que preços Lucas deve cobrar para minimizar o custo operacional? Qual é o custo operacional mínimo?

Passo 1

O enunciado fornece dois preços a escolher: x reais pelo modelo básico e y reais pelo modelo avançado. As vendas serão
400 - x - y
unidades do básico e
600 - 2x - y
unidades do avançado, e o custo operacional total é dado por
C(x,y)=x^2-280,x+y^2-380,y+60000
Precisamos (a) descrever a região de (x,y) onde isso faz sentido e (b) encontrar o mínimo de C nessa região.

Passo 2

As condições para que tudo seja válido são
x>=0, y>=0, 400 - x - y >= 0, 600 - 2x - y >= 0
Portanto, no plano xy a região é o polígono convexo fechado limitado pelas retas
x=0, y=0, x+y=400, 2x+y=600

Passo 3

Determinamos os vértices desse polígono pelas interseções das retas:
Interseção de x=0 com y=0: (0,0).
Interseção de x=0 com x+y=400: (0,400).
Interseção de y=0 com 2x+y=600: (300,0).
Interseção de x+y=400 com 2x+y=600:
2x+y - (x+y)=600-400implies x=200, y=200
Logo os vértices são (0,0), (300,0), (200,200) e (0,400).

Passo 4

Para achar o mínimo de C(x,y), igualamos o gradiente a zero:
partial Cpartial x=2x-280=0, partial Cpartial y=2y-380=0
Dessa forma vem
x=140, y=190

Passo 5

Verificamos que (140,190) pertence à região:
140>=0,190>=0,140+190=330<=400,2cdot140+190=470<=600
Logo é viável e, por convexidade de C, é o mínimo global na região.

Passo 6

Calculamos o custo mínimo:
C(140,190)=140^2-280cdot140+190^2-380cdot190+60000=4300

Resposta

Lucas deve cobrar x=140 reais no modelo básico e y=190 reais no modelo avançado.
O custo operacional mínimo é 4300 reais.

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