Questão 5. Determine quais são os pontos críticos da função e classifique cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de
isto é, resolver
, e em seguida usar o teste da matriz Hessiana (segundas derivadas) para classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos precisar calcular
,
, encontrar onde elas se anulam e depois avaliar as segundas derivadas nesses pontos.
Passo 2
Defina
.
Então
Então
As derivadas parciais são
Passo 3
Impondo
e
obtemos o sistema
Da segunda equação vem
.
- Se
, a primeira dá , impossível. - Logo
e a primeira fica , ou seja .
Assim os pontos críticos são
Passo 4
Para classificar, calcule as segundas derivadas gerais e depois avalie em cada ponto. A matriz Hessiana tem entradas
Sem dar toda a dedução, obtém-se para pontos com
e
:
O discriminante é
Passo 5
Em
temos
, logo
Como
e
,
é máximo local.
Em também
, mas
Em
Como
e
,
é mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos são