Questão 5. Determine quais são os pontos críticos da função e classifique cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
f(x, y)=xx^2+y^2+4

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de
f(x,y) = xx^2 + y^2 + 4
isto é, resolver nabla f = (0,0), e em seguida usar o teste da matriz Hessiana (segundas derivadas) para classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos precisar calcular partial f/partial x, partial f/partial y, encontrar onde elas se anulam e depois avaliar as segundas derivadas nesses pontos.

Passo 2

Defina D = x^2 + y^2 + 4.
Então
f(x,y) = x,D^-1
As derivadas parciais são
partial fpartial x = D - xcdot 2xD^2 = -x^2 + y^2 + 4D^2,
partial fpartial y = -xcdot 2yD^2 = -2xyD^2

Passo 3

Impondo partial f/partial x=0 e partial f/partial y=0 obtemos o sistema
-x^2 + y^2 + 4D^2 = 0, -2xyD^2 = 0
Da segunda equação vem xy=0.
  • Se x=0, a primeira dá -0 + y^2 +4=0, impossível.
  • Logo y=0 e a primeira fica -x^2 + 0 +4=0, ou seja x^2=4.
    Assim os pontos críticos são
(2,0) e (-2,0)

Passo 4

Para classificar, calcule as segundas derivadas gerais e depois avalie em cada ponto. A matriz Hessiana tem entradas
fxx,;fyy,;fxy
Sem dar toda a dedução, obtém-se para pontos com y=0 e D=x^2+4:
fxx = -2x,(D)D^3, fyy = -2x,(D)D^3, fxy = 0
O discriminante é
H = fxx,fyy - (fxy)^2

Passo 5

Em (2,0) temos D=2^2+4=8, logo
fxx = fyy = -2cdot2cdot88^3 = -116, fxy=0,
H = l(-116r)^2 = 1256 > 0
Como fxx<0 e H>0, (2,0) é máximo local.
Em (-2,0) também D=8, mas
fxx = fyy = -2cdot(-2)cdot88^3 = +116, fxy=0,
H = l(116r)^2 = 1256 > 0
Como fxx>0 e H>0, (-2,0) é mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos são
(2,0), máximo local; (-2,0), mínimo local áí

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