Quatro vértices de um paralelepípedo são A(1,4,12), B(6,-8,14), C(-5,12,6) e D(9,18,15). Calcule o volume desse paralelepípedo.

Passo 1

O enunciado dá quatro vértices de um paralelepípedo:
A(1,4,12), B(6,-8,14), C(-5,12,6), D(9,18,15)
Queremos o volume, e para isso usamos o produto misto (ou triplo escalar) dos vetores que saem de A para os outros três vértices. Sejam
u = AB, v = AC, w = AD,
então
Volume = l|ucdot(vtimesw)r|

Passo 2

Calcular os vetores de aresta:
u = AB = B - A = (6-1,,-8-4,;14-12) = (5,,-12,;2),
v = AC = C - A = (-5-1,;12-4,;6-12) = (-6,;8,,-6),
w = AD = D - A = (9-1,;18-4,;15-12) = (8,;14,;3)

Passo 3

Calcular o produto vetorial vtimesw. Usando determinante:
vtimesw = i & j & k -6 & 8 & -6 8 & 14 & 3 = l(8cdot3 - (-6)cdot14,; -l(-6cdot3 -(-6)cdot8r),; -6cdot14 - 8cdot8r)
Isso dá
vtimesw = (108,,-30,,-148)

Passo 4

Agora o produto misto:
ucdot(vtimesw) = (5,,-12,,2)cdot(108,,-30,,-148) =5cdot108 + (-12)cdot(-30) + 2cdot(-148)
Calculando:
5cdot108 = 540, (-12)cdot(-30)=360, 2cdot(-148)=-296,
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ucdot(vtimesw) = 540 + 360 - 296 = 604
O volume é o valor absoluto desse resultado.

Resposta

O volume do paralelepípedo é 604.

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