Considere u, v e w vetores de um espaço vetorial V sobre os R, dotado de produto interno. Escreva as expressões abaixo em termos de lang<=u, urang<=,lang<=u, vrang<=,lang<=u, wrang<=,lang<=v, vrang<=,lang<=v, wrang<= e lang<=w, wrang<=.
lang<= 2 u-v, v-wrang<=

Passo 1

O enunciado pede para escrever o produto interno
lang<= 2u-v,,v-wrang<=
usando apenas os escalares
lang<=u,urang<=,
lang<=u,vrang<=,
lang<=u,wrang<=,
lang<=v,vrang<=,
lang<=v,wrang<= e
lang<=w,wrang<=.
Vamos usar a bilinearidade (linearidade em cada argumento) e a simetria do produto interno.

Passo 2

Aplicando linearidade no primeiro argumento, temos
lang<= 2u-v,,v-wrang<= =2,lang<=u,,v-wrang<= -lang<=v,,v-wrang<=

Passo 3

Agora distribuímos cada produto interno:
lang<=u,,v-wrang<= =lang<=u,vrang<= -lang<=u,wrang<=, lang<=v,,v-wrang<= =lang<=v,vrang<= -lang<=v,wrang<=

Passo 4

Substituindo essas expressões em (2) e distribuindo os sinais, obtém-se
2l(lang<=u,vrang<= -lang<=u,wrang<=r) -l(lang<=v,vrang<= -lang<=v,wrang<=r) =2lang<=u,vrang<= -2lang<=u,wrang<= -lang<=v,vrang<= +lang<=v,wrang<=

Resposta

lang<= 2u-v,,v-wrang<= =2lang<=u,vrang<= -2lang<=u,wrang<= -lang<=v,vrang<= +lang<=v,wrang<=

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