Sejam os vetores u=(2,1,0), v=(1,0,2) e w1=2 u-v, w2=3 v-2 u, e w3=i+j+2 k. Determinar o volume do paralelepípedo definido por w1, w2, w3.

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(2,1,0), v=(1,0,2) e define
w1=2u-v,
w2=3v-2u,
w3=i+j+2k.
Queremos o volume do paralelepípedo gerado por w1,w2,w3.
Para isso basta calcular o valor absoluto do produto misto w1cdot(w2timesw3), que é igual ao determinante da matriz cujas colunas são esses vetores.

Passo 2

Calcular as coordenadas de w1 e w2:
w1=2u-v=(2cdot2-1,;2cdot1-0,;2cdot0-2) =(4-1,;2,;-2)=(3,2,-2),
w2=3v-2u=(3cdot1-2cdot2,;3cdot0-2cdot1,;3cdot2-2cdot0) =(3-4,;0-2,;6-0)=(-1,-2,6),
e já temos w3=(1,1,2).

Passo 3

Montar a matriz cujas colunas são w1,w2,w3:
M = 3 & -1 & 1 2 & -2 & 1 -2 & 6 & 2

Passo 4

Calcular o determinante de M:
det(M) =3det-2 & 16 & 2 -(-1)det2 & 1-2 & 2 +1det2 & -2-2 & 6
Agora,
det-2 & 16 & 2 =-2cdot2-1cdot6=-4-6=-10,
det2 & 1-2 & 2 =2cdot2-1cdot(-2)=4+2=6,
det2 & -2-2 & 6 =2cdot6-(-2)cdot(-2)=12-4=8
Logo,
det(M)=3cdot(-10)+1cdot6+1cdot8=-30+6+8=-16

Passo 5

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto de det(M).

Resposta

O volume é 16.

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