Quatro vetores, A, B, C e D tem um ponto comum e são dados por;
A=2 a x-k a y-a z ; B=k a x+a y-2 a z ; C=a x+k a y+2 a z e D=k^2 a x+k a y+a z
Determinar o valor de k se:
Se A e B forem ortogonais entre si. (0,5 pt)

Passo 1

O enunciado dá dois vetores com origem comum
A=2,a x-k,a y-a z, B=k,a x+a y-2,a z
e pede o valor de k para que A e B sejam ortogonais. Lembrando que dois vetores são ortogonais se, e somente se, seu produto escalar for zero:
AcdotB=0

Passo 2

Para aplicar o produto escalar, identificamos as componentes de cada vetor no mesmo sistema de base ortonormal a x,a y,a z:
A=(Ax,Ay,Az)=(2,,-k,, -1), B=(Bx,By,Bz)=(k,,1,,-2)
O produto escalar é dado por
AcdotB=AxBx + AyBy + AzBz

Passo 3

Substituindo as componentes no produto escalar, temos
AcdotB =2cdot k + (-k)cdot 1 + (-1)cdot(-2) =2k - k + 2 =k + 2
Como queremos AperpB, impomos
k + 2 = 0 Rightarrow k = -2

Resposta

k = -2

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