Quatro vetores, e tem um ponto comum e são dados por;
Determinar o valor de k se:
Se C e B forem paralelos. (0,5 pt)
Passo 1
O enunciado dá quatro vetores a partir de um mesmo ponto em função de um parâmetro k, usando a base ortonormal ax,ay,az. Pede-se o valor de k para que vec C e vec B sejam paralelos. Para isso, usaremos o critério de paralelismo: dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro, o que equivale a exigir que o produto vetorial entre eles seja o vetor nulo.
Passo 2
Escrevemos as componentes de vec B e vec C nesse mesmo sistema de eixos:
vec B = k,ax ;+; 1,ay ;-; 2,az Long<=ftrightarrow vec B = (k,;1,,-2),
vec C = 1,ax ;+; k,ay ;+; 2,az Long<=ftrightarrow vec C = (1,;k,;2)
Passo 3
Para vetores paralelos, devemos ter
vec C times vec B ;=;vec 0
Passo 4
Calculamos o produto vetorial por determinante:
vec C times vec B = ex & ey & ez 1 & k & 2 k & 1 & -2 = ex,(kcdot(-2)-2cdot1) - ey,(1cdot(-2)-2cdot k) + ez,(1cdot1 - kcdot k)
Isso resulta no vetor
vec C times vec B = l(-2k - 2,;2 + 2k,;1 - k^2r)
Passo 5
Igualando cada componente a zero, obtemos o sistema
-2k - 2 = 0, 2 + 2k = 0, 1 - k^2 = 0
Das duas primeiras equações vem imediatamente k=-1. A terceira dá k^2=1, ou seja k=pm1. A única solução comum é