Quatro vetores, A, B, C e D tem um ponto comum e são dados por;
A=2 a x-k a y-a z ; B=k a x+a y-2 a z ; C=a x+k a y+2 a z e D=k^2 a x+k a y+a z
Determinar o valor de k se:
Se C e B forem paralelos. (0,5 pt)

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores a partir de um mesmo ponto em função de um parâmetro k, usando a base ortonormal ax,ay,az. Pede-se o valor de k para que vec C e vec B sejam paralelos. Para isso, usaremos o critério de paralelismo: dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro, o que equivale a exigir que o produto vetorial entre eles seja o vetor nulo.

Passo 2

Escrevemos as componentes de vec B e vec C nesse mesmo sistema de eixos:
vec B = k,ax ;+; 1,ay ;-; 2,az Long<=ftrightarrow vec B = (k,;1,,-2),
vec C = 1,ax ;+; k,ay ;+; 2,az Long<=ftrightarrow vec C = (1,;k,;2)

Passo 3

Para vetores paralelos, devemos ter
vec C times vec B ;=;vec 0

Passo 4

Calculamos o produto vetorial por determinante:
vec C times vec B = ex & ey & ez 1 & k & 2 k & 1 & -2 = ex,(kcdot(-2)-2cdot1) - ey,(1cdot(-2)-2cdot k) + ez,(1cdot1 - kcdot k)
Isso resulta no vetor
vec C times vec B = l(-2k - 2,;2 + 2k,;1 - k^2r)

Passo 5

Igualando cada componente a zero, obtemos o sistema
-2k - 2 = 0, 2 + 2k = 0, 1 - k^2 = 0
Das duas primeiras equações vem imediatamente k=-1. A terceira dá k^2=1, ou seja k=pm1. A única solução comum é
k = -1

Resposta

k = -1

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