Resolva os problemas de valor inicial:
(a) y^prime prime+y^prime-2 y=t^2+3, y(0)=0, y^prime(0)=0
(b) y^prime prime+2 y^prime+y=3 sin (2 t), y(0)=0, y^prime(0)=0
(c) y^prime prime-4 y^prime+4 y=3 e^-t, y(0)=0, y^prime(0)=0
(d) 2 y^prime prime+2 y^prime+y=t^2, y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

Temos quatro problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para cada caso, vamos encontrar a solução geral como soma da solução homogênea (resolvendo a equação característica) e de uma particular (método dos coeficientes a determinar), e então ajustar as constantes pelas condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0.

Passo 2

Resolvendo (a)
y''+y'-2y=t^2+3
A equação característica é
r^2+r-2=0implies r=1,,-2,
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yh=C1e^-2t+C2e^t
Procuramos yp=At^2+Bt+C. Calculamos
yp''+yp'-2yp =-2A,t^2+(2A-2B),t+(2A+B-2C)
e igualamos a t^2+0,t+3, obtendo
-2A=1,2A-2B=0,2A+B-2C=3
Rightarrow A=-tfrac12,;B=-tfrac12,;C=-tfrac94.
Então
y=C1e^-2t+C2e^t-tfrac12t^2-tfrac12t-tfrac94
Impondo y(0)=0 e y'(0)=0 achamos
C1=tfrac712, C2=tfrac53

Passo 3

Resolvendo (b)
y''+2y'+y=3sin(2t)
Característica (r+1)^2=0, solução homogênea
yh=(C1+C2t)e^-t
Para a particular, yp=Acos(2t)+Bsin(2t). Substituindo,
(-3A+4B)cos(2t)+(-4A-3B)sin(2t)=0cos(2t)+3sin(2t)
Rightarrow A=-tfrac1225,;B=-tfrac925
Assim
y=(C1+C2t)e^-t-tfrac1225cos(2t)-tfrac925sin(2t),
e de y(0)=0,;y'(0)=0 vem
C1=tfrac1225, C2=tfrac65

Passo 4

Resolvendo (c)
y''-4y'+4y=3e^-t
Característica (r-2)^2=0, solução homogênea
yh=(C1+C2t)e^2t
Para a particular, yp=Ae^-t. Substituindo,
9A,e^-t=3e^-timplies A=tfrac13
Então
y=(C1+C2t)e^2t+tfrac13e^-t,
e de y(0)=0,;y'(0)=0 obtemos
C1=-tfrac13, C2=1

Passo 5

Resolvendo (d)
2y''+2y'+y=t^2Long<=ftrightarrow y''+y'+tfrac12y=tfrac12t^2
Característica r^2+r+tfrac12=0 r=-tfrac12pmtfraci2, então
yh=e^-t/2l(C1costfrac t2+C2sintfrac t2r)
Para a particular, yp=At^2+Bt+C. Substituindo em 2y''+2y'+y igual a t^2 resulta
A=1,;B=-4,;C=4,
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y=e^-t/2l(C1costfrac t2+C2sintfrac t2r)+t^2-4t+4
Aplicando y(0)=0,;y'(0)=0 achamos
C1=-4, C2=4

Resposta

(a) y(t)=tfrac712e^-2t+tfrac53e^t-tfrac12t^2-tfrac12t-tfrac94
(b) y(t)=l(tfrac1225+tfrac65tr)e^-t-tfrac1225cos(2t)-tfrac925sin(2t)
(c) y(t)=l(-tfrac13+tr)e^2t+tfrac13e^-t
(d) y(t)=e^-t/2l(-4costfrac t2+4sintfrac t2r)+t^2-4t+4

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